गुणोत्तर श्रेणी योग कैलकुलेटर

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पहला पद a

सार्व अनुपात r

पदों की संख्या n

डिस्प्ले परिशुद्धता (सार्थक अंक) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

परिणाम

Sum of geometric series S_n

1,023

sum of the first 10 terms

nth term an	512
पदों की संख्या n	10
डिस्प्ले परिशुद्धता	14 significant digits

यह कैलकुलेटर क्या करता है

गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Series) ऐसे पदों का योग होती है जिसमें हर अगला पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करके मिलता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अनुपात (common ratio) कहते हैं। यह श्रेणी इस तरह दिखती है: \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}\)। यह कैलकुलेटर एक साथ दो चीज़ें निकालता है — श्रेणी का nवाँ पद और उसके पहले n पदों का योग (आंशिक योग), जब आप पहला पद a, सार्व अनुपात r और पदों की संख्या n दे देते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहला पद a भरें (कोई भी वास्तविक संख्या — धनात्मक, ऋणात्मक या भिन्न के रूप में), फिर सार्व अनुपात r और पदों की संख्या n (एक धनात्मक पूर्णांक) डालें। चाहें तो डिस्प्ले परिशुद्धता चुनकर तय कर सकते हैं कि परिणाम में कितने सार्थक अंक दिखें — इससे केवल प्रदर्शन बदलता है, गणना नहीं। कैलकुलेट दबाते ही आपको nवाँ पद aₙ और योग Sₙ दोनों मिल जाएँगे।

सूत्र की व्याख्या

nवाँ पद होता है $$a_n = a \cdot r^{\,n-1}$$ योग के लिए, जब r का मान 1 के बराबर नहीं होता, तब हम यह बंद सूत्र इस्तेमाल करते हैं: $$S_n = a \cdot \frac{1 - r^{\,n}}{1 - r}$$ जब r ठीक 1 के बराबर हो, तो श्रेणी का हर पद एक जैसा होता है, और हर \((1 - r)\) शून्य हो जाएगा; इस विशेष स्थिति में योग बस इतना होता है: $$S_n = n \cdot a$$ कैलकुलेटर शून्य से भाग देने से बचने के लिए अपने आप सही सूत्र चुन लेता है।

आंशिक योग \(S_n\) ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों को जोड़ता है।

ज्यामितीय श्रेणी का प्रत्येक पद पिछले पद को सामान्य अनुपात r से गुणा करके प्राप्त होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(a = 1\), \(r = 2\), \(n = 10\): तब 10वाँ पद होगा $$a_n = 1 \cdot 2^9 = 512$$ और योग होगा $$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह अनंत योग निकालता है? नहीं। यह हमेशा ठीक n पदों का परिमित आंशिक योग ही निकालता है। जब \(|r| < 1\) हो, तो n बढ़ने के साथ आंशिक योग \(a/(1-r)\) के करीब पहुँचता जाता है, लेकिन यह टूल कभी भी अनंत पदों को मानकर नहीं चलता।

क्या सार्व अनुपात ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक r होने पर पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते रहते हैं, और सूत्र फिर भी सही काम करता है।

अगर r = 0 हो तो? तब केवल पहला पद a योगदान देता है और बाकी सभी पद शून्य हो जाते हैं, यानी \(S_n = a\)। इस स्थिति में \(a_n = a\) केवल तभी होगा जब \(n = 1\) हो (नहीं तो यह 0 होगा)।