Что вычисляет этот калькулятор
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Выглядит она так: \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}\). Калькулятор сразу находит два значения: n-й член прогрессии и сумму первых n её членов (частичную сумму) — по заданным первому члену a, знаменателю r и количеству членов n.
Как пользоваться
Введите первый член a (любое действительное число — положительное, отрицательное или дробное), знаменатель r и число членов n (целое положительное число). При желании задайте точность отображения — количество значащих цифр в результате. Эта настройка влияет только на вид ответа, но не на сами вычисления. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть n-й член aₙ и сумму Sₙ.
Разбор формулы
n-й член находится по формуле
$$a_n = a \cdot r^{\,n-1}$$Для суммы, когда r не равно 1, используется формула
$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^{\,n}}{1 - r}$$Если же r равно 1, то все члены одинаковы, и знаменатель \((1 - r)\) обратился бы в ноль; в этом частном случае сумма просто равна
$$S_n = n \cdot a$$Калькулятор автоматически переключается на нужную формулу, чтобы не допустить деления на ноль.
Пример расчёта
Пусть a = 1, r = 2, n = 10. Тогда 10-й член равен
$$a_n = 1 \cdot 2^9 = 512$$А сумма составит
$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$Частые вопросы
Считает ли калькулятор бесконечную сумму? Нет. Он всегда вычисляет конечную частичную сумму ровно n членов. При \(|r| < 1\) частичная сумма с ростом n стремится к значению \(\frac{a}{1-r}\), но этот инструмент никогда не предполагает бесконечное число членов.
Может ли знаменатель быть отрицательным? Да. При отрицательном r знаки членов чередуются, и формула остаётся справедливой.
Что будет, если r = 0? Тогда вклад даёт только первый член, равный a, а все последующие члены обращаются в ноль. Поэтому \(S_n = a\), а aₙ равно a лишь при n = 1 (в остальных случаях — 0).
