Что такое конечная геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (\(r\)). Когда мы складываем члены такой прогрессии, получаем геометрический ряд. Конечная прогрессия суммирует лишь заданное количество членов — \(n\). Этот калькулятор находит общую сумму \(S_n\) первых \(n\) членов по первому члену \(a_1\), знаменателю \(r\) и числу членов \(n\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член \(a_1\) (стартовое число), знаменатель прогрессии \(r\) (множитель между соседними членами) и \(n\) (сколько членов нужно сложить). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить сумму, а также значение последнего члена \(a_n\) и величину \(r^n\) для справки. Поддерживаются как целые числа, так и десятичные дроби; знаменатель \(r\) может быть отрицательным или дробным.
Разбор формулы
Сумму можно вычислить по готовой формуле:
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ — она работает при любом \(r \neq 1\).
Это избавляет от необходимости складывать члены по одному. Если \(r = 1\), все члены равны \(a_1\), поэтому сумма равна просто $$S_n = a_1 \cdot n$$ Калькулятор сам распознаёт этот особый случай, чтобы не делить на ноль.
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), \(r = 3\), \(n = 5\). Тогда члены прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162. По формуле: \(r^n = 3^5 = 243\), значит $$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = \mathbf{242}$$ Если сложить пять членов напрямую (\(2 + 6 + 18 + 54 + 162\)), тоже получится 242. ✓
Частые вопросы
Может ли знаменатель быть отрицательным? Да. При отрицательном \(r\) знаки членов чередуются (например, \(r = -2\) даёт члены \(a_1, -2a_1, 4a_1, \ldots\)), и формула корректно учитывает это.
Что, если r лежит между −1 и 1? Конечная сумма по-прежнему вычисляется без проблем. С ростом \(n\) сумма приближается к пределу бесконечного ряда \(a_1/(1 - r)\), но этот калькулятор всегда складывает ровно \(n\) членов.
Что означает rⁿ в результатах? Это знаменатель, возведённый в степень \(n\), — промежуточная величина из формулы, которую мы показываем для наглядности.
