유한 등비수열 합 계산기

결과

유한 등비수열의 합 (Sₙ)

242

sum of the first 5 terms

마지막 항 (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)	162
rⁿ	243
항의 개수 (n)	5

유한 등비수열의 합이란?

등비수열의 합(등비급수)이란 등비수열의 각 항을 모두 더한 값을 말합니다. 등비수열에서는 바로 앞 항에 일정한 수, 즉 공비($r$)를 곱해 다음 항을 만듭니다. 유한 등비수열의 합은 정해진 개수 $n$개의 항만 더한 것이죠. 이 계산기는 첫째항 $a_1$, 공비 $r$, 항의 개수 $n$을 입력하면 첫 $n$항의 합 $S_n$을 바로 구해 줍니다.

각 항이 이전 항에 공비 r을 곱한 값이 되는 막대 수열 — 등비수열: 각 항은 이전 항에 공비 $r$을 곱한 값이다.

계산기 사용 방법

세 가지 값을 입력하세요. 첫째항 $a_1$(시작 값), 공비 $r$(이웃한 두 항 사이의 비율), 그리고 $n$(더할 항의 개수)입니다. 계산 버튼을 누르면 합은 물론, 참고용으로 마지막 항 $a_n$과 $r^n$ 값까지 함께 표시됩니다. 정수와 소수 모두 사용할 수 있고, $r$은 음수나 분수여도 괜찮습니다.

공식 자세히 보기

닫힌 형태(closed-form)의 합 공식은 다음과 같습니다.

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$ 단 $r \neq 1$일 때 성립합니다.

이 공식 덕분에 항을 하나씩 더할 필요가 없습니다. 만약 $r = 1$이라면 모든 항이 $a_1$로 같으므로 합은 간단히 $$S_n = a_1 \cdot n$$이 됩니다. 이 계산기는 이 특수한 경우를 자동으로 인식해 0으로 나누는 오류를 방지합니다.

닫힌 형식의 분수 a(1-r^n)/(1-r)을 n개 항의 합과 연결하는 다이어그램 — 닫힌 형식의 공식은 $n$개 항의 합과 같다.

예제로 풀어보기

$a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 5$라고 해 봅시다. 각 항은 2, 6, 18, 54, 162입니다. 공식에 대입하면 $r^n = 3^5 = 243$이므로, $$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$가 됩니다. 다섯 항을 직접 더해도($2 + 6 + 18 + 54 + 162$) 마찬가지로 242가 나옵니다. ✓