무한등비급수 계산기

계산 입력

첫째항 (a)

공비 (r)

결과

무한등비급수의 합

2

S = a / (1 − r)

첫째항 (a)	1
공비 (r)	0.5
수렴 여부 (1=예, 0=아니요)	예 (|r| < 1)

무한등비급수란?

무한등비급수는 앞 항에 일정한 수, 즉 공비(r)를 곱해 만든 항들을 끝없이 더한 합입니다: \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . 공비의 크기가 충분히 작으면(\(|r| < 1\)) 항이 빠르게 0에 가까워지기 때문에, 무한히 더해도 그 합이 하나의 유한한 값으로 수렴합니다. 이 계산기는 그 극한값을 즉시 구해 줍니다.

수렴하는 등비급수의 연속된 항들은 \(|r| < 1\)일 때 0으로 점점 작아집니다.

계산기 사용법

첫째항 a와 공비 r을 입력하면 합이 바로 나옵니다. 만약 \(|r| \geq 1\)이라면, 항이 0으로 줄어들지 않아 유한한 합이 존재하지 않으므로 계산기가 "발산"한다고 알려 줍니다.

공식 풀이

닫힌 형태의 합은 $$S = \frac{a}{1 - r}$$이며, \(|r| < 1\)일 때만 성립합니다. 이 공식은 유한한 부분합 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)에서 유도됩니다. n이 한없이 커질 때 \(|r| < 1\)이면 \(r^n \to 0\)이 되어 \(S = \frac{a}{1 - r}\)만 남습니다. 반대로 \(|r| \geq 1\)이면 \(r^n\)이 0으로 사라지지 않아 부분합이 무한히 커지거나 진동하므로 급수는 발산합니다.

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\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots\) 같은 등비급수는 단위 정사각형을 채우며 유한한 값으로 합산됩니다.

예제 풀이

\(a = 1\), \(r = 0.5\)라고 해 봅시다. \(|0.5| < 1\)이므로 이 급수는 수렴합니다. $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ 따라서 \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \ldots = 2\)가 됩니다.

자주 묻는 질문

r이 음수이면 어떻게 되나요? \(|r| < 1\)이기만 하면 공식은 그대로 적용됩니다. 예를 들어 \(a = 3\), \(r = -0.5\)일 때 \(S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2\)입니다.

언제 급수가 발산하나요? \(|r| \geq 1\)일 때 항상 발산합니다(예: \(r = 2\) 또는 \(r = -1\)). 항이 0으로 줄어들지 않기 때문에 유한한 합이 존재하지 않습니다.

a = 0이면 어떻게 되나요? 모든 항이 0이므로 합도 그냥 0입니다.