ما هي المتسلسلة الهندسية اللانهائية؟
المتسلسلة الهندسية اللانهائية هي مجموعٌ لا ينتهي من الحدود، حيث نحصل على كل حدٍّ بضرب الحد السابق له في عددٍ ثابت يُسمّى النسبة المشتركة (r)، على هذا النحو: \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\) . وعندما تكون قيمة النسبة المشتركة صغيرة بما يكفي (أي \(|r| < 1\))، فإن الحدود تتناقص نحو الصفر بسرعة كافية تجعل المجموع يقترب من قيمة منتهية واحدة. وتحسب هذه الأداة تلك القيمة الحدّية في لحظات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الحد الأول a والنسبة المشتركة r، ثم اقرأ قيمة المجموع مباشرةً. وإذا كانت \(|r| \geq 1\)، فستُنبّهك الحاسبة إلى أن المتسلسلة متباعدة (diverges) — أي ليس لها مجموع منتهٍ لأن حدودها لا تتناقص إلى الصفر.
شرح القانون
الصيغة المغلقة للمجموع هي $$S = \frac{a}{1 - r}$$ وهي صحيحة فقط عندما تكون \(|r| < 1\). وهي مشتقّة من مجموع الحدود الجزئي المنتهي \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). فمع ازدياد \(n\) بلا حدود، تؤول \(r^n\) إلى الصفر طالما كانت \(|r| < 1\)، فيتبقّى لنا \(S = \frac{a}{1 - r}\). أما إذا كانت \(|r| \geq 1\)، فإن الحد \(r^n\) لا يتلاشى، ومن ثَمّ تنمو المجاميع الجزئية بلا حدود أو تتذبذب، فتتباعد المتسلسلة.
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 1\) وأن \(r = 0.5\). وبما أن \(|0.5| < 1\)، فإن المتسلسلة متقاربة. ومنه $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ أي أن \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots = 2\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت r سالبة؟ يظل القانون صالحًا طالما كانت \(|r| < 1\). فعند \(a = 3\) و \(r = -0.5\)، يكون \(S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2\).
متى تتباعد المتسلسلة؟ كلما كانت \(|r| \geq 1\) (مثل \(r = 2\) أو \(r = -1\)). فالحدود لا تتناقص أبدًا إلى الصفر، ولذلك لا يوجد مجموع منتهٍ.
ماذا لو كان a = 0؟ عندئذٍ يكون كل حدٍّ مساويًا للصفر، فيكون المجموع صفرًا ببساطة.
