ما هو التوزيع الهندسي؟
يصف التوزيع الهندسي عدد الإخفاقات التي تحدث قبل تحقيق أول نجاح في سلسلة من المحاولات المستقلة، حيث يكون لكل محاولة نفس احتمال النجاح p. تعتمد هذه الحاسبة على صيغة «عدد الإخفاقات قبل أول نجاح»، وبذلك يأخذ المتغير العشوائي x القيم 0، 1، 2، ... وتُعطى دالة الكتلة الاحتمالية بالعلاقة \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\). ملاحظة: هناك صيغة شائعة أخرى تعدّ رقم المحاولة k التي تحقق فيها أول نجاح (k = 1، 2، ...)، وهي ليست المستخدمة هنا، حيث تكون العلاقة بينهما \(x = k - 1\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد الإخفاقات قبل أول نجاح x (عدد صحيح غير سالب)، واحتمال النجاح في كل محاولة p (قيمة بين 0 و1). تعرض الأداة قيمة الكتلة الاحتمالية \(f(x,p)\)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(P(X \ge x)\)، إضافة إلى المتوسط (العدد المتوقع للإخفاقات).
شرح الصيغ
لنفترض أن \(q = 1 - p\). تُعطى الكتلة الاحتمالية بالعلاقة $$f(x,p) = p\cdot q^{x}$$ أما المجموع التراكمي الأدنى فيُختزل تلسكوبياً إلى $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$ والطرف الأعلى هو $$P(X \ge x) = q^{x}$$ والمتوسط هو $$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$ ومن المتطابقات المفيدة أن \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\)، لأن كلا الطرفين يحسب النقطة x ذاتها مرة واحدة.
مثال محلول
عند x = 2 وp = 0.4 (أي q = 0.6): $$f(2, 0.4) = 0.4 \cdot 0.6^{2} = 0.4 \cdot 0.36 = 0.144$$ الاحتمال التراكمي الأدنى $$P(X \le 2) = 1 - 0.6^{3} = 1 - 0.216 = 0.784$$ الاحتمال التراكمي الأعلى $$P(X \ge 2) = 0.6^{2} = 0.36$$ المتوسط \(= \frac{0.6}{0.4} = 1.5\). التحقق: \(0.784 + 0.36 - 0.144 = 1.000\).
الأسئلة الشائعة
هل يشمل x المحاولة الناجحة؟ لا. هنا يحسب x الإخفاقات فقط التي تسبق أول نجاح، لذا يبدأ x من 0. وإذا كان لديك رقم المحاولة k التي تحقق فيها أول نجاح، فاستخدم \(x = k - 1\).
ماذا يحدث عندما p = 1؟ يكون النجاح مضموناً في المحاولة الأولى: \(f(0,1) = 1\)، و\(f(x,1) = 0\) لكل \(x \ge 1\)، ويكون المتوسط 0.
لماذا يكون المتوسط غير معرّف عندما p = 0؟ إذا لم تنجح أي محاولة على الإطلاق، فإن العدد المتوقع للإخفاقات يصبح لانهائياً، لأن الصيغة \((1 - p)/p\) تقتضي القسمة على صفر.
