حاسبة التوزيع ذي الحدين (دالة الكتلة الاحتمالية والاحتمال التراكمي)

x	f(x)
0	٠٫٠٠٣١٧١٢١٢
1	٠٫٠٢١١٤١٤١٣
2	٠٫٠٦٦٩٤٧٨٠٨
3	٠٫١٣٣٨٩٥٦١٥
4	٠٫١٨٩٦٨٥٤٥٥
5	٠٫٢٠٢٣٣١١٥٢
6	٠٫١٦٨٦٠٩٢٩٣
7	٠٫١١٢٤٠٦١٩٥
8	٠٫٠٦٠٨٨٦٦٨٩
9	٠٫٠٢٧٠٦٠٧٥١
10	٠٫٠٠٩٩٢٢٢٧٥
11	٠٫٠٠٣٠٠٦٧٥
12	٠٫٠٠٠٧٥١٦٨٨

ما هو التوزيع ذو الحدين؟

يصف التوزيع ذو الحدين عدد النجاحات $x$ ضمن عدد ثابت من المحاولات المستقلة $n$، حيث تنجح كل محاولة بالاحتمال نفسه $p$ (محاولة برنولي). وهو يجيب عن أسئلة مثل: "ما احتمال الحصول على 5 صور بالضبط عند رمي عملة معدنية 20 مرة؟" هذا مفهوم رياضي بحت ينطبق بالطريقة ذاتها في كل مكان، دون أي وحدات أو ارتباط بقوانين بلد معيّن.

Bar chart of a binomial probability mass function — The binomial PMF gives the probability of x successes in n independent trials.

كيفية استخدام الحاسبة

اختر أولًا الدالة التي تريد حسابها: دالة الكتلة الاحتمالية $f(x)$ (احتمال الحصول على $x$ نجاحًا بالضبط)، أو التراكمي الأدنى $P(X \le x)$، أو التراكمي الأعلى $Q(X \ge x)$. ثم أدخل عدد المحاولات $n$، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة $p$ (قيمة بين 0 و1)، ثم حدّد عدد النجاحات الأول (قيمة $x$ الابتدائية)، ومقدار الزيادة بين كل صف والذي يليه، وعدد الصفوف المطلوب توليدها. تقوم الأداة بعرض الدالة المختارة في جدول ورسمها على شكل مدرّج تكراري متقطّع تتلامس أعمدته.

شرح الصيغة

دالة الكتلة الاحتمالية هي

$$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$

حيث $\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$ هو المعامل الثنائي. أما التراكمي الأدنى $P(x)$ فهو مجموع $f$ من $t = 0$ إلى $x$، والتراكمي الأعلى $Q(x)$ هو مجموع $f$ من $t = x$ إلى $n$. ولتجنّب تجاوز سعة العمليات الناتج عن المضروب عند قيم $n$ الكبيرة، تحسب هذه الأداة المعامل باستخدام دالة لوغاريتم غاما:

$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p).$$

ويساوي متوسط التوزيع $np$ بينما يساوي تباينه $np(1-p)$.

اعلان

Three bar charts comparing PMF, lower cumulative, and upper cumulative — PMF f(x), lower cumulative P(X≤x), and upper cumulative Q(X≥x) compared.

Diagram showing the parts of the binomial formula — The formula multiplies the number of arrangements by the probability of each outcome.

مثال محلول

لنأخذ $n = 20$ و$p = 0.25$، وعند حساب دالة الكتلة الاحتمالية عند القيم $x = 0$ إلى 12: نجد أن $f(0) \approx 0.003171$، و$f(1) \approx 0.021142$، و$f(2) \approx 0.066948$، و$f(3) \approx 0.133897$، و$f(4) \approx 0.189691$، و$f(5) \approx 0.202337$. تقع الذروة عند $x = 5$، وهي تساوي المتوسط

$$np = 20 \times 0.25 = 5,$$

تمامًا كما هو متوقع.

التعريفات والمسرد

التجربة: تكرار واحد لتجربة عشوائية بمجموعة محددة وثابتة من النتائج المحتملة.
تجربة برنولي: تجربة لها نتيجتان متنافيتان بالضبط، عادة ما تسمى "نجاح" و"فشل".
احتمالية النجاح $p$: الاحتمال بأن تسفر التجربة الواحدة عن نجاح، حيث $0 \le p \le 1$. يُفترض أن يكون ثابتاً عبر جميع التجارب.
عدد التجارب $n$: العدد الثابت لتجارب برنولي المستقلة في التجربة، عدد صحيح غير سالب.
النجاحات $x$: العدد المرصود للنجاحات من بين التجارب $n$؛ $x$ عدد صحيح حيث $0 \le x \le n$.
دالة الكتلة الاحتمالية $f(x)$: دالة الكتلة الاحتمالية، التي تعطي احتمالية حدوث نجاح بالضبط $x$: $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
التراكم السفلي $P(X\le x)$: دالة التوزيع التراكمي، احتمالية حدوث نجاح بحد أقصى $x$: $P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)$.
التراكم العلوي $Q(X\ge x)$: احتمالية حدوث نجاح بحد أدنى $x$: $Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)$.
معامل ذي الحدين $\binom{n}{x}$: عدد الطرق المختلفة لاختيار نجاحات $x$ من $n$ تجربة، $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
المتوسط $np$: العدد المتوقع للنجاحات، $\mu = np$.
التباين $np(1-p)$: تباين عدد النجاحات، $\sigma^{2}=np(1-p)$؛ الانحراف المعياري هو $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.

اعلان

تفسير النتيجة

الكميات الثلاث تجيب على ثلاثة أسئلة مختلفة عن نفس التجربة:

$f(x)$ — بالضبط $x$: احتمالية الحصول على نجاحات بالضبط $x$ وليس عدداً آخر. استخدم هذا للأسئلة "بالضبط k".
$P(X\le x)$ — بحد أقصى $x$: احتمالية أن لا يتجاوز عدد النجاحات $x$. استخدم هذا للأسئلة "بحد أقصى k" أو "لا يزيد عن k" أو "أقل من k+1".
$Q(X\ge x)$ — بحد أدنى $x$: احتمالية النجاحات $x$ أو أكثر. استخدم هذا للأسئلة "بحد أدنى k" أو "k أو أكثر" أو "أكثر من k−1".

ربط السؤال الفعلي بدالة. ترجم الصياغة بعناية، مراقباً الحد:

"بحد أدنى $k$" $\Rightarrow Q(X\ge k)$.
"أكثر من $k$" $\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)$.
"بحد أقصى $k$" $\Rightarrow P(X\le k)$.
"أقل من $k$" $\Rightarrow P(X\le k-1)$.
"بين $a$ و $b$ شاملاً" $\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)$.

تداخل $P$ و $Q$. لأن كلاً من $P(X\le x)$ و $Q(X\ge x)$ يتضمنان الحد $f(x)$، فهما ليسا متممتين عند نفس $x$. في الحقيقة $P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)$، لذلك يتداخل الذيلان التراكميان بنقطة واحدة بالضبط. المتمم الحقيقي للدالة $Q(X\ge x)$ هو $P(X\le x-1)$، وليس $P(X\le x)$.

التقريب الطبيعي. عندما يكون كل من $np$ و $n(1-p)$ كبيراً بشكل معقول (قاعدة شائعة هي أن يكون كل منهما $\ge 5$ على الأقل، وبشكل مثالي $\ge 10$)، يُقارّب التوزيع ذو الحدين بشكل جيد من قبل توزيع طبيعي بمتوسط $\mu = np$ وانحراف معياري $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. طبّق تصحيح الاستمرارية (على سبيل المثال، استخدم $x+0.5$ أو $x-0.5$) عند تحويل عدد منفصل إلى مقياس طبيعي مستمر. بالنسبة إلى $n$ كبير مع $p$ صغير (بحيث يبقى $np$ معتدلاً)، فإن توزيع بواسون مع $\lambda = np$ هو التقريب الأكثر دقة.

الأسئلة الشائعة

لماذا لا يساوي مجموع $P(x) + Q(x)$ القيمة 1؟ لأن كلا التراكميين يشمل النقطة $t = x$، ومن ثَمّ فإن $P(x) + Q(x) = 1 + f(x)$. هذا التداخل (التراكمي الأدنى يشمل $x$، والأعلى يشمل $x$ كذلك) متعمَّد في هذه الأداة.

ماذا يحدث إذا كانت $x$ خارج المدى 0 إلى $n$؟ تكون دالة الكتلة الاحتمالية مساوية للصفر هناك؛ ويثبّت التراكمي الأدنى عند 0 (إذا كانت $x < 0$) أو عند 1 (إذا كانت $x \ge n$)، بينما يثبّت التراكمي الأعلى عند 1 (إذا كانت $x \le 0$) أو عند 0 (إذا كانت $x > n$).

هل يمكنني استخدام قيم كبيرة لـ $n$؟ نعم. فاستخدام لوغاريتم غاما يحافظ على استقرار النتيجة عند قيم $n$ الكبيرة حيث يؤدي حساب المضروب المباشر إلى تجاوز سعة الأعداد.