ما هو الكسر المصري؟
يُعبّر الكسر المصري عن أي عدد نسبي موجب على صورة مجموع كسور أحادية متمايزة، أي كسور بسطها واحد مثل ١/٢ و١/٣ و١/٧. وقد كتب قدماء المصريين جميع الكسور بهذه الطريقة (باستثناء رمز خاص للكسر ٢/٣). تقوم هذه الحاسبة تلقائيًا بتحويل أي كسر حقيقي تُدخله إلى مثل هذا المجموع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل بسط ومقام كسر حقيقي (يكون فيه البسط أصغر من المقام). تقوم الحاسبة أولًا باختزال الكسر إلى أبسط صورة، ثم تطبّق الخوارزمية الجشعة وتعرض التفكيك الكامل إضافة إلى عدد الكسور الأحادية التي يتضمنها.
شرح المعادلة
تعتمد الطريقة الجشعة، المنسوبة إلى فيبوناتشي وسيلفستر، على إزالة أكبر كسر أحادي ممكن في كل خطوة.
$$\frac{\text{Numerator } a}{\text{Denominator } b} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \cdots + \frac{1}{d_k}, \qquad d_i = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil$$فمن أجل الباقي \(a/b\) يكون المقام التالي هو \(d = \left\lceil b/a \right\rceil\) (التقريب لأعلى). وبطرح القيمة \(1/d\) نحصل على كسر جديد هو \((a\cdot d - b)/(b\cdot d)\)، يُختزَل ثم تُعاد معالجته. ولأن البسط يتناقص بشكل أكيد عند كل خطوة، فإن العملية تنتهي دائمًا.
مثال محلول
لنأخذ الكسر ٥/٦. هنا \(d = \left\lceil 6/5 \right\rceil = 2\)، فنأخذ ١/٢. ويكون الباقي \(\tfrac{5}{6} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}\)، وهو بالفعل كسر أحادي، ومن ثَمّ يكون التفكيك ١/٢ + ١/٣ باستخدام كسرين أحاديين. ويمكنك التحقق:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \checkmark$$الأسئلة الشائعة
هل تفكيك الكسور المصرية وحيد؟ لا. يمكن كتابة الكسر الواحد بصورة كسور أحادية بطرق متعددة، والخوارزمية الجشعة تنتج تمثيلًا واحدًا صحيحًا فقط من بينها.
لماذا يجب أن تكون الكسور متمايزة؟ الكسور المصرية بحكم تعريفها تستخدم مقامات مختلفة، وهذا ما يجعل النهج الجشع مثيرًا للاهتمام بدلًا من مجرد تكرار الكسر \(1/b\) عدة مرات.
هل يمكن أن تصبح المقامات كبيرة جدًا؟ نعم. قد تُنتج الطريقة الجشعة مقامات كبيرة على نحو مفاجئ حتى مع كسور بسيطة، وهذا أحد عيوبها المعروفة.
