Phân số Ai Cập là gì?
Phân số Ai Cập là cách biểu diễn một số hữu tỉ dương dưới dạng tổng của các phân số đơn vị khác nhau — tức là những phân số có tử số bằng 1, chẳng hạn \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) hay \(\frac{1}{7}\). Người Ai Cập cổ đại viết mọi phân số theo cách này (ngoại trừ một ký hiệu đặc biệt dành cho \(\frac{2}{3}\)). Máy tính này sẽ tự động chuyển bất kỳ phân số thực sự nào bạn nhập vào thành tổng như vậy.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập tử số và mẫu số của một phân số thực sự (tử số nhỏ hơn mẫu số). Máy tính trước tiên sẽ rút gọn phân số về dạng tối giản, sau đó áp dụng thuật toán tham lam và hiển thị khai triển đầy đủ cùng với số lượng phân số đơn vị có trong kết quả.
Giải thích công thức
Phương pháp tham lam, được cho là của Fibonacci và Sylvester, liên tục tách ra phân số đơn vị lớn nhất có thể.
$$\frac{\text{Numerator } a}{\text{Denominator } b} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \cdots + \frac{1}{d_k}, \qquad d_i = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil$$Với phần còn lại \(\frac{a}{b}\), mẫu số tiếp theo là \(d = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil\). Khi trừ đi \(\frac{1}{d}\), ta thu được phân số mới \(\frac{a\cdot d - b}{b\cdot d}\); phân số này lại được rút gọn rồi tiếp tục xử lý. Vì tử số luôn giảm nghiêm ngặt sau mỗi bước, nên quá trình này chắc chắn sẽ dừng lại.
Ví dụ minh họa
Xét phân số \(\frac{5}{6}\). Ở đây \(d = \left\lceil \frac{6}{5} \right\rceil = 2\), nên ta lấy \(\frac{1}{2}\). Phần còn lại là
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$Đây đã là một phân số đơn vị, vậy nên khai triển sẽ là \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\), gồm 2 phân số đơn vị. Bạn có thể kiểm chứng:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \;\checkmark$$Câu hỏi thường gặp
Khai triển phân số Ai Cập có duy nhất không? Không. Một phân số có thể được viết thành tổng các phân số đơn vị theo nhiều cách khác nhau; thuật toán tham lam chỉ tạo ra một trong số những cách biểu diễn hợp lệ đó.
Vì sao các phân số phải khác nhau? Theo định nghĩa, phân số Ai Cập dùng các mẫu số khác nhau. Chính điều này khiến phương pháp tham lam trở nên thú vị, thay vì chỉ đơn giản viết lặp lại \(\frac{1}{b}\) nhiều lần.
Mẫu số có thể trở nên rất lớn không? Có. Phương pháp tham lam có thể tạo ra những mẫu số lớn đến bất ngờ ngay cả với các phân số đơn giản — đây là một trong những nhược điểm đã được biết đến của nó.
