Máy Tính Trung Bình Phân Số Kèm Lời Giải Chi Tiết

Công cụ này làm được gì

Công cụ này giúp bạn tính trung bình cộng (giá trị trung bình) của một danh sách các số, bao gồm phân số đơn giản, phân số tối giản chưa đúng (phân số lớn hơn 1), hỗn số và cả số nguyên. Thay vì chỉ trả về một số thập phân đã làm tròn, máy tính sẽ cho ra phân số chính xác đã được rút gọn hoàn toàn và hiển thị từng bước giải, nên đây cũng là một công cụ học tập hữu ích để ôn lại phép tính với phân số.

Cách sử dụng

Nhập các giá trị của bạn vào ô, ngăn cách nhau bằng dấu phẩy. Mỗi giá trị có thể là số nguyên như 3 hoособ -5, là phân số như 1/2 hay 9/12, hoặc là hỗn số như 3 5/8 (đặt một dấu cách giữa phần nguyên và phần phân số). Dấu trừ ở đầu sẽ làm âm toàn bộ giá trị. Nhấn nút tính để xem kết quả trung bình cùng giá trị thập phân gần đúng.

Giải thích công thức

Trước tiên, mọi giá trị đều được chuyển về dạng phân số (đưa hỗn số và số nguyên về phân số). Máy tính tìm mẫu số chung nhỏ nhất (MSCNN) — chính là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của tất cả các mẫu số — rồi quy đồng từng phân số về mẫu số chung đó. Các tử số sau khi quy đồng được cộng lại thành $S$, nên tổng các giá trị nhập vào là $S / \text{MSCNN}$. Chia cho số lượng giá trị $n$ ta được trung bình cộng:

$$\text{Trung bình} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{MSCNN}\cdot n}$$

Cuối cùng, phân số được rút gọn bằng cách chia cho ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Quảng cáo

Sơ đồ thể hiện các phân số được cộng lại rồi chia cho số lượng của chúng để tìm trung bình — Trung bình của các phân số: cộng chúng lại, rồi chia tổng cho số lượng phân số.

Ví dụ minh họa

Với dãy 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16, các phân số tương ứng là $1/1, 1/2, 3/4, 9/12, 29/8, -12/16$, nên $n = 6$. Mẫu số chung nhỏ nhất là 48. Khi quy đồng về mẫu 48, các tử số trở thành $48, 24, 36, 36, 174, -36$, có tổng là 282, cho ra $282/48 = 47/8$. Chia cho 6 ta được $47/48 \approx 0{,}97917$.

Sơ đồ từng bước quy đồng mẫu số các phân số và tính trung bình — Ví dụ minh họa: quy đồng mẫu số, cộng lại, rồi chia cho số phân số.

Thêm các ví dụ đã giải

Mỗi ví dụ tuân theo cùng bốn bước: tìm mẫu số chung nhỏ nhất (MCS), viết lại mỗi phân số trên MCS và cộng các tử số, chia tổng đó cho số lượng $n$, sau đó rút gọn kết quả về dạng tối giản.

Ví dụ 1 — Ba phân số đơn giản: $\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14$

MCS. Các mẫu số là 3, 6 và 4. Bội số chung nhỏ nhất của 3, 6 và 4 là 12.
Viết lại và cộng. $\tfrac13=\tfrac{4}{12}$, $\tfrac16=\tfrac{2}{12}$, $\tfrac14=\tfrac{3}{12}$. Tổng là $\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}$.
Chia cho $n=3$. $\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}$.
Rút gọn. $\gcd(9,36)=9$, vì vậy $\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}$.

Trung bình $=\tfrac14=0.25$.

Ví dụ 2 — Hỗn số âm: $-1\tfrac12,\ -2\tfrac34$

Chuyển đổi thành phân số không thực. $-1\tfrac12=-\tfrac32$ và $-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}$.
MCS. Các mẫu số 2 và 4 cho MCS $=4$. Viết lại: $-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}$, $-\tfrac{11}{4}$ giữ nguyên. Tổng $=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}$.
Chia cho $n=2$. $\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}$.
Rút gọn / chuyển đổi. $\gcd(17,8)=1$, đã ở dạng tối giản. Dưới dạng hỗn số $-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18$.

Trung bình $=-\tfrac{17}{8}=-2.125$.

Ví dụ 3 — Số nguyên trộn lẫn với phân số không thực: $2,\ 5,\ \tfrac72$

Viết mọi thứ dưới dạng phân số. $2=\tfrac21$, $5=\tfrac51$, và $\tfrac72$.
MCS. Các mẫu số 1, 1 và 2 cho MCS $=2$. Viết lại: $\tfrac21=\tfrac42$, $\tfrac51=\tfrac{10}{2}$, $\tfrac72$. Tổng $=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}$.
Chia cho $n=3$. $\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}$.
Rút gọn. $\gcd(21,6)=3$, vì vậy $\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12$.

Trung bình $=\tfrac72=3.5$.

Quảng cáo

Các thuật ngữ chính được giải thích

Trung bình cộng (trung bình): Tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị: $\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i$. Đối với phân số, điều này có nghĩa là cộng tất cả các phân số lại với nhau và chia tổng cho số lượng $n$.
Tử số: Số ở trên của phân số $\tfrac{a}{b}$; nó cho biết có bao nhiêu phần bằng nhau được lấy.
Mẫu số: Số dưới $b$ của phân số $\tfrac{a}{b}$; nó cho biết toàn bộ được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau. Nó không thể bằng không.
Phân số không thực: Một phân số có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số của nó, chẳng hạn như $\tfrac72$. Giá trị của nó ít nhất là 1, và nó có thể được viết lại dưới dạng hỗn số.
Hỗn số: Một số nguyên kết hợp với một phân số thực, chẳng hạn như $2\tfrac34$. Nó bằng $\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}$ khi chuyển đổi thành phân số không thực.
Mẫu số chung nhỏ nhất (MCS): Số dương nhỏ nhất mà mọi mẫu số đều chia hết cho nó — tức là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số. Nó cho phép bạn viết lại tất cả các phân số trên một mẫu số chung để chúng có thể được cộng lại.
Bội số chung nhỏ nhất (BCNN): Số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của mỗi trong hai số hoặc nhiều hơn. MCS của một tập hợp các phân số chính xác là BCNN của các mẫu số của chúng.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số nguyên dương lớn nhất chia cả hai số mà không có dư (còn được gọi là GCF hoặc HCF). Chia tử số và mẫu số của phân số cho ƯCLN của chúng sẽ rút gọn nó.
Dạng rút gọn (dạng tối giản): Một phân số ở dạng tối giản khi tử số và mẫu số của nó không có ước chung nào khác ngoài 1 — tức là $\gcd(a,b)=1$. Ví dụ $\tfrac{9}{36}$ rút gọn thành $\tfrac14$.

Câu hỏi thường gặp

Tôi có thể trộn lẫn phân số và số nguyên không? Có — số nguyên, phân số và hỗn số đều có thể xuất hiện chung trong cùng một danh sách.

Làm sao để nhập một hỗn số âm? Hãy viết -2 1/4; dấu trừ sẽ làm âm toàn bộ giá trị, cho ra $-9/4$.

Vì sao kết quả là phân số chứ không phải số thập phân? Phân số cho kết quả chính xác và tránh được sai số làm tròn; số thập phân hiển thị chỉ là giá trị gần đúng.