Bu araç ne işe yarar?
Bu araç; basit kesirler, bileşik (paydadan büyük paylı) kesirler, tam sayılı kesirler ve düz tam sayılardan oluşan bir değer listesinin ortalamasını (aritmetik ortalamayı) bulur. Size yuvarlanmış bir ondalık sayı vermek yerine, tam ve tamamen sadeleştirilmiş bir kesir döndürür ve işlemin her adımını gösterir. Böylece aynı zamanda kesirlerle işlem yapmayı öğrenmek için pratik bir kaynak görevi de görür.
Nasıl kullanılır?
Değerlerinizi kutuya virgülle ayırarak yazın. Her değer; 3 ya da -5 gibi bir tam sayı, 1/2 veya 9/12 gibi bir kesir ya da 3 5/8 gibi bir tam sayılı kesir olabilir (tam kısım ile kesir arasına bir boşluk koyun). Başa konan eksi işareti, değerin tamamını negatif yapar. Ortalamayı ve ondalık karşılığını görmek için hesapla düğmesine basın.
Formülün açıklaması
Önce her değer bileşik kesre dönüştürülür. Hesaplayıcı, tüm paydaların EKOK'u olan en küçük ortak paydayı (EKOP) bulur ve her kesri bu ortak payda üzerinden yeniden yazar. Yeniden yazılan paylar toplanarak S elde edilir; böylece girdilerin toplamı S / EKOP olur. Bu toplamı değer sayısı n'e bölmek ortalamayı verir:
$$\text{Ortalama} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{EKOP}\cdot n}$$Son olarak kesir, en büyük ortak bölene (EBOB) bölünerek sadeleştirilir.
Çözümlü örnek
1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 değerleri için bileşik kesirler \(1/1, 1/2, 3/4, 9/12, 29/8, -12/16\) olur, yani \(n = 6\). En küçük ortak payda \(48\)'dir. 48 üzerinden bu kesirler \(48, 24, 36, 36, 174, -36\) olur; toplamları \(282\)'dir ve $$\frac{282}{48} = \frac{47}{8}$$ eder. Bunu 6'ya böldüğümüzde $$\frac{47}{48} \approx 0{,}97917$$ sonucunu elde ederiz.
Daha Fazla Çalışılmış Örnekler
Her örnek aynı dört adımı izler: en küçük ortak paydayı (EKOK) bul, her kesri EKOK üzerine yaz ve payları topla, bu toplamı sayı \(n\) ile böl, sonra sonucu en basit forma indir.
Örnek 1 — Üç basit kesir: \(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- EKOK. Paydalar 3, 6 ve 4'tür. 3, 6 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir.
- Yeniden yaz ve topla. \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\), \(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\), \(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\). Toplam \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\)'dir.
- \(n=3\) ile böl. \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\).
- İndir. \(\gcd(9,36)=9\) olduğundan, \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).
Ortalama \(=\tfrac14=0.25\).
Örnek 2 — Negatif tam sayılı kesirler: \(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- Bileşik kesre dönüştür. \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) ve \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\).
- EKOK. Paydalar 2 ve 4 verilen EKOK \(=4\). Yeniden yaz: \(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\), \(-\tfrac{11}{4}\) aynı kalır. Toplam \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\).
- \(n=2\) ile böl. \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\).
- İndir / dönüştür. \(\gcd(17,8)=1\), zaten indirilmiş. Tam sayılı kesir olarak \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\).
Ortalama \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\).
Örnek 3 — Tam sayılarla karışık bileşik kesir: \(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- Her şeyi kesir olarak yaz. \(2=\tfrac21\), \(5=\tfrac51\), ve \(\tfrac72\).
- EKOK. Paydalar 1, 1 ve 2 verilen EKOK \(=2\). Yeniden yaz: \(\tfrac21=\tfrac42\), \(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\), \(\tfrac72\). Toplam \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\).
- \(n=3\) ile böl. \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\).
- İndir. \(\gcd(21,6)=3\) olduğundan, \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\).
Ortalama \(=\tfrac72=3.5\).
Ana Terimler Açıklandı
- Aritmetik ortalama (ortalama)
- Tüm değerlerin toplamının kaç değer olduğuna bölünmesi: \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\). Kesirler için bu, hepsini toplayıp toplama \(n\) sayısına bölmek anlamına gelir.
- Pay
- Bir kesrin \(\tfrac{a}{b}\) üst sayısı; kaç eşit parça alındığını sayar.
- Payda
- Bir kesrin \(\tfrac{a}{b}\) alt sayısı \(b\); bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtir. Sıfır olamaz.
- Bileşik kesir
- Payı paydaya eşit veya daha büyük olan kesir, örneğin \(\tfrac72\). Değeri en az 1'dir ve tam sayılı kesir olarak yeniden yazılabilir.
- Tam sayılı kesir
- Bir tam sayıyla bir asker kesrin birleşimi, örneğin \(2\tfrac34\). Bileşik kesre dönüştürüldüğünde \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\)'e eşittir.
- En küçük ortak payda (EKOK)
- Her paydanın içine eşit olarak böldüğü en küçük pozitif sayı — yani paydaların en küçük ortak katı. Tüm kesirleri bir paylaşılan payda üzerine yazmanıza izin verir, böylece toplanabilirler.
- En küçük ortak kat (EKOK)
- İki veya daha fazla sayının her birinin katı olan en küçük pozitif tam sayı. Kesirler kümesinin EKOK'u tam olarak paydalarının EKOK'udur.
- En büyük ortak bölen (EBOB)
- İki sayıyı kalansız bölen en büyük pozitif tam sayı (aynı zamanda GCF veya HCF de denir). Bir kesrin payını ve paydasını EBOB'larına bölerek indirgenir.
- İndirilmiş (en basit) form
- Bir kesir, payı ve paydası 1'den başka ortak etmene sahip olmadığında, yani \(\gcd(a,b)=1\) olduğunda en basit formda olur. Örneğin \(\tfrac{9}{36}\) \(\tfrac14\)'e indirgenir.
Sıkça sorulan sorular
Kesirleri ve tam sayıları birlikte kullanabilir miyim? Evet — tam sayılar, kesirler ve tam sayılı kesirlerin hepsi aynı listede yer alabilir.
Negatif bir tam sayılı kesri nasıl girerim? -2 1/4 şeklinde yazın; eksi işareti değerin tamamını negatif yapar ve sonuç \(-9/4\) olur.
Neden ondalık yerine kesir? Kesirler tamdır ve yuvarlama hatası içermez; gösterilen ondalık sayı yalnızca yaklaşık bir değerdir.
