Öklid Algoritması ile OBEB Hesaplama

Hesaplamaya Girin

1. Değer

2. Değer

Sonuç

https://example.com

En Büyük Ortak Bölen

4

OBEB (EBOB olarak da bilinir)

Solution — Euclid's Algorithm

Step 1: 2260 ÷ 816 = 2 R 628   (2260 = 2 × 816 + 628)
Step 2: 816 ÷ 628 = 1 R 188   (816 = 1 × 628 + 188)
Step 3: 628 ÷ 188 = 3 R 64   (628 = 3 × 188 + 64)
Step 4: 188 ÷ 64 = 2 R 60   (188 = 2 × 64 + 60)
Step 5: 64 ÷ 60 = 1 R 4   (64 = 1 × 60 + 4)
Step 6: 60 ÷ 4 = 15 R 0   (60 = 15 × 4 + 0)

Öklid algoritması nedir?

En büyük ortak bölen (OBEB), Türkiye'de yaygın olarak EBOB kısaltmasıyla da bilinir; iki tam sayıyı tam olarak (kalansız) bölen en büyük tam sayıdır. Öklid algoritması, bu değeri kalanlı bölme işlemini tekrarlayarak bulan, çok eski ama şaşırtıcı derecede verimli bir yöntemdir. Bu hesaplama aracı, girdiğiniz iki tam sayının OBEB değerini bulur ve işlemi rahatça takip edebilmeniz için her bölme adımını tek tek gösterir.

Öklid algoritması bir dikdörtgeni mümkün olan en büyük eşit karelerle döşer — o karenin kenarı EBOB'dur.

Nasıl kullanılır?

1. Değer ve 2. Değer alanlarına iki tam sayı girin. Araç, büyük sayıyı bölünen, küçük sayıyı bölen olarak alır ve kalan sıfır olana kadar bölme işlemini tekrarlar. Sıfırdan farklı son bölen, OBEB sonucudur. Sayıların sırası önemli değildir ve eksi işaretleri dikkate alınmaz; çünkü OBEB yalnızca sayının büyüklüğüne bağlıdır.

Formülün açıklaması

Her adımda bir bölüm ve bir kalan hesaplanır: \(a = c \times b + R\), burada \(c = \lfloor a / b \rfloor\) ve \(R = a \bmod b\). Daha sonra \(a\) yerine \(b\), \(b\) yerine \(R\) konur ve işlem tekrarlanır. Her kalan bir önceki bölenden kesinlikle küçük olduğu için işlem her zaman sona erer. \(R = 0\) olduğunda, o anki bölen sonucu verir. Özyinelemeli (recursive) olarak: $$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$$

Reklam

Örnek çözüm

OBEB(816, 2260) değerini bulalım. \(a = 2260\), \(b = 816\) olarak başlayalım.

$$2260 = 2 \times 816 + 628$$ $$816 = 1 \times 628 + 188$$ $$628 = 3 \times 188 + 64$$ $$188 = 2 \times 64 + 60$$ $$64 = 1 \times 60 + 4$$ $$60 = 15 \times 4 + 0$$ Kalan, bölen 4 iken sıfıra ulaşır; dolayısıyla OBEB(816, 2260) = 4.

Her adımda (a, b) yerine (b, a mod b) gelir, kalan 0 olana kadar; sıfırdan farklı son bölen EBOB'dur.

Sıkça sorulan sorular

OBEB ve EBOB aynı şey mi? Evet. "En büyük ortak bölen" (OBEB) ve "en büyük ortak böleni" (EBOB) aynı kavramı ifade eder; bu araç ikisini de hesaplar.

Girdilerden biri 0 ise ne olur? \(\gcd(a, 0) = a\) olur; çünkü her sayı 0'ı tam böler. İki sayı da 0 ise OBEB tanımsızdır.

Üç sayının OBEB'ini bulabilir miyim? Aracı ikişerli olarak uygulayın: \(\gcd(x, y, z) = \gcd(\gcd(x, y),\ z)\).