यूक्लिड एल्गोरिद्म GCF कैलकुलेटर

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मान 1

मान 2

परिणाम

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महत्तम समापवर्तक (GCF)

4

GCF (जिसे GCD या HCF भी कहते हैं)

Solution — Euclid's Algorithm

Step 1: 2260 ÷ 816 = 2 R 628   (2260 = 2 × 816 + 628)
Step 2: 816 ÷ 628 = 1 R 188   (816 = 1 × 628 + 188)
Step 3: 628 ÷ 188 = 3 R 64   (628 = 3 × 188 + 64)
Step 4: 188 ÷ 64 = 2 R 60   (188 = 2 × 64 + 60)
Step 5: 64 ÷ 60 = 1 R 4   (64 = 1 × 60 + 4)
Step 6: 60 ÷ 4 = 15 R 0   (60 = 15 × 4 + 0)

यूक्लिड एल्गोरिद्म क्या है?

महत्तम समापवर्तक (GCF), जिसे महत्तम समापवर्त्य (GCD) या भारत में आमतौर पर HCF भी कहा जाता है, वह सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है जो दो संख्याओं को पूरी तरह विभाजित कर देती है। यूक्लिड एल्गोरिद्म इसे निकालने की एक प्राचीन और बेहद कारगर विधि है, जिसमें बार-बार शेषफल सहित भाग किया जाता है। यह कैलकुलेटर किन्हीं भी दो पूर्ण संख्याओं का GCF देता है और हर भाग का चरण दिखाता है, ताकि आप पूरी गणना खुद समझ सकें।

यूक्लिड का एल्गोरिदम एक आयत को सबसे बड़े संभव बराबर वर्गों से भरता है — उस वर्ग की भुजा ही म.स. (GCF) है।

इसका उपयोग कैसे करें

मान 1 और मान 2 में दो पूर्ण संख्याएँ डालें। टूल बड़ी संख्या को भाज्य (dividend) और छोटी संख्या को भाजक (divisor) मानता है, और तब तक बार-बार भाग देता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। आखिरी शून्येतर (नॉन-ज़ीरो) भाजक ही GCF होता है। संख्याओं का क्रम मायने नहीं रखता और ऋणात्मक चिह्न को नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है, क्योंकि GCF केवल संख्या के मान पर निर्भर करता है।

सूत्र की व्याख्या

हर चरण में आप एक भागफल और एक शेषफल निकालते हैं: \(a = c \times b + R\), जहाँ \(c = \lfloor a / b \rfloor\) और \(R = a \bmod b\)। इसके बाद \(a\) की जगह \(b\) और \(b\) की जगह \(R\) रख दें, और यही प्रक्रिया दोहराएँ। चूँकि हर शेषफल पिछले भाजक से हमेशा छोटा होता है, इसलिए यह प्रक्रिया अंततः रुक जाती है। जब \(R = 0\) हो जाता है, तब मौजूदा भाजक ही उत्तर होता है। पुनरावर्ती रूप में:

$$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$$

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हल किया हुआ उदाहरण

GCF(816, 2260) निकालें। मान लें \(a = 2260\), \(b = 816\)।

$$2260 = 2 \times 816 + 628$$$$816 = 1 \times 628 + 188$$$$628 = 3 \times 188 + 64$$$$188 = 2 \times 64 + 60$$$$64 = 1 \times 60 + 4$$$$60 = 15 \times 4 + 0$$

शेषफल भाजक 4 के साथ शून्य हो जाता है, इसलिए GCF(816, 2260) = 4।

हर चरण में (a, b) को (b, a mod b) से बदला जाता है जब तक शेषफल 0 न हो जाए; अंतिम शून्येतर भाजक ही म.स. है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या GCF और GCD एक ही चीज़ हैं? हाँ। "महत्तम समापवर्तक" (GCF) और "महत्तम समापवर्त्य" (GCD) एक-दूसरे के पर्यायवाची हैं — भारत में इसे अक्सर HCF कहते हैं। यह टूल तीनों का ही उत्तर देता है।

अगर कोई एक इनपुट 0 हो तो? \(\gcd(a, 0) = a\), क्योंकि हर संख्या 0 को विभाजित कर देती है। यदि दोनों संख्याएँ 0 हों, तो GCF अपरिभाषित (undefined) रहता है।

क्या मैं तीन संख्याओं का GCF निकाल सकता हूँ? टूल को जोड़ी-दर-जोड़ी इस्तेमाल करें: \(\gcd(x, y, z) = \gcd(\gcd(x, y), z)\)।