यूक्लिड एल्गोरिथम क्या है?
यूक्लिड एल्गोरिथम दुनिया के सबसे पुराने ज्ञात एल्गोरिथम में से एक है, जिसे यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने लगभग 300 ई.पू. में बताया था। यह दो पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (GCD) बेहद आसानी से निकाल देता है — यानी वह सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को बिना शेषफल के पूरी तरह विभाजित कर देती है। यह कैलकुलेटर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) भी बताता है, जो सीधे GCD से निकाला जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
ऊपर दिए गए खानों में दो पूर्ण संख्याएँ भरें और सबमिट करें। कैलकुलेटर आपकी इनपुट की निरपेक्ष (absolute) मानों का उपयोग करता है और बार-बार यह नियम लागू करता है — \(\gcd\!\left(\text{a},\,\text{b}\right) = \gcd\!\left(\text{b},\,\text{a} \bmod \text{b}\right)\) — जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। इसके बाद यह GCD और LCM दोनों दिखा देता है।
सूत्र की सरल व्याख्या
मूल बात यह है कि दो संख्याओं का GCD तब नहीं बदलता जब आप बड़ी संख्या की जगह उस शेषफल को रख दें जो उसे छोटी संख्या से भाग देने पर बचता है। संकेत रूप में: $$\gcd\!\left(\text{a},\,\text{b}\right) = \gcd\!\left(\text{b},\,\text{a} \bmod \text{b}\right)$$ यह प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक \(\text{b} = 0\) न हो जाए; आखिरी गैर-शून्य मान ही GCD होता है। इसके बाद LCM यूँ निकाला जाता है — $$\operatorname{lcm}\!\left(\text{a},\,\text{b}\right) = \frac{\left|\text{a}\right| \times \left|\text{b}\right|}{\gcd\!\left(\text{a},\,\text{b}\right)}$$ — क्योंकि दो संख्याओं का गुणनफल उनके GCD और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\gcd(48, 36)\) निकालें: $$48 \bmod 36 = 12$$ इसलिए \(\gcd(36, 12)\)। फिर \(36 \bmod 12 = 0\), अतः GCD है 12। LCM होगा $$\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$ 144।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर एक संख्या शून्य हो तो? \(\gcd(a, 0) = a\) होता है। एल्गोरिथम इसे अपने आप संभाल लेता है — लूप तुरंत रुक जाता है और गैर-शून्य मान लौटा देता है।
क्या a और b का क्रम मायने रखता है? नहीं। \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a)\); एल्गोरिथम पहले ही चरण में खुद को सही कर लेता है।
क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। कैलकुलेटर निरपेक्ष मान लेता है, क्योंकि परंपरागत रूप से GCD को धनात्मक ही परिभाषित किया जाता है।
