¿Qué es el algoritmo de Euclides?
El algoritmo de Euclides es uno de los algoritmos más antiguos que se conocen, descrito por el matemático griego Euclides alrededor del año 300 a. C. Permite hallar de forma muy eficiente el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros, es decir, el mayor número que divide a ambos sin dejar resto. Esta calculadora también te devuelve el mínimo común múltiplo (MCM), que se obtiene directamente a partir del MCD.
Cómo usar esta calculadora
Introduce dos números enteros en los campos de arriba y pulsa calcular. La herramienta trabaja con los valores absolutos de tus datos y aplica de forma repetida la regla \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\) hasta que el resto llega a cero. Después te muestra tanto el MCD como el MCM.
La fórmula, explicada
La idea clave es que el MCD de dos números no cambia si sustituyes el número mayor por el resto de dividirlo entre el menor. En símbolos:
$$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$$Repites el proceso hasta que \(b = 0\); el último valor distinto de cero es el MCD. El MCM se calcula entonces como
$$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$$ya que el producto de dos números es igual al producto de su MCD por su MCM.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(\gcd(48, 36)\): \(48 \bmod 36 = 12\), así que pasamos a \(\gcd(36, 12)\). Luego \(36 \bmod 12 = 0\), por lo que el MCD es 12. El MCM es $$\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si uno de los números es cero? \(\gcd(a, 0) = a\). El algoritmo lo resuelve sin problema: el bucle se detiene de inmediato y devuelve el valor distinto de cero.
¿Importa el orden de a y b? No. \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a)\); el propio algoritmo se ajusta en el primer paso.
¿Puedo usar números negativos? Sí. La calculadora toma los valores absolutos, ya que por convención el MCD siempre se define como positivo.
