Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula dos magnitudes clave de la teoría de números para cualquier lista de dos o más números enteros: el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM). El MCD es el mayor número entero positivo que divide exactamente a todos los valores introducidos. El MCM es el menor número entero positivo que todos los valores dividen sin dejar resto. Estos conceptos aparecen por todas partes: desde simplificar fracciones y hallar un denominador común hasta la planificación de horarios, las relaciones de engranajes o la criptografía. (Ten en cuenta que en algunos países, como México, también se usa la sigla «MCD» y «mcm» en minúsculas; aquí seguimos la notación habitual en español.)
Cómo usarla
Escribe dos o más números enteros positivos separados por comas o espacios, por ejemplo 12, 18, 24, y pulsa calcular. Los números negativos se convierten a su valor absoluto y los decimales se redondean al entero más cercano. La calculadora devuelve a la vez el MCD y el MCM. Si alguno de los valores es cero, el MCM se muestra como 0, ya que el cero no comparte ningún múltiplo positivo con los demás números.
La fórmula explicada
Para dos números, el MCD se obtiene con el algoritmo de Euclides: se reemplaza el par \((a, b)\) por \((b, a \bmod b)\) una y otra vez hasta que el segundo valor llega a 0; el primer valor que queda es el MCD. El MCM se deduce entonces como \(\text{mcm} = (a / \text{mcd}) \times b\), un orden elegido para evitar desbordamientos. Para tres números o más, el resultado se construye por parejas: se combina el resultado acumulado con el siguiente número, luego con el siguiente, y así sucesivamente.
$$\begin{gathered} \gcd(a_1,\dots,a_k), \qquad \operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_1,\dots,a_k &= \text{Integers (abs. values)} \\ \gcd &= \text{computed via the Euclidean algorithm} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos 12, 18 y 24. Primero \(\gcd(12, 18) = 6\), después \(\gcd(6, 24) = 6\), así que el MCD es 6. Para el MCM:
$$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36$$después
$$\operatorname{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{12} = 72,$$de modo que el MCM es 72. Comprobación: \(72 \div 12 = 6\), \(72 \div 18 = 4\), \(72 \div 24 = 3\), y 6 divide a los tres valores introducidos.
Preguntas frecuentes
¿El MCD es lo mismo que el GCF o el HCF? Sí. En inglés se utilizan «Greatest Common Divisor» (GCD), «Greatest Common Factor» (GCF) y «Highest Common Factor» (HCF) como tres nombres para el mismo número, que en español llamamos máximo común divisor.
¿Y si dos números no comparten ningún factor? Si el MCD es 1, los números son coprimos (primos entre sí) y su MCM es simplemente el producto de ambos.
¿Puedo introducir más de dos números? Sí. Puedes escribir tantos enteros como quieras; el MCD y el MCM se calculan sobre toda la lista.
