ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة قيمتين أساسيتين في نظرية الأعداد لأي قائمة مكوّنة من عددين صحيحين أو أكثر: القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) — ويُعرف أيضًا بالعامل المشترك الأكبر (GCF) أو العامل المشترك الأعلى (HCF) — والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ). القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم كل عدد من الأعداد المُدخلة دون باقٍ. أما المضاعف المشترك الأصغر فهو أصغر عدد صحيح موجب تقبل القسمة عليه جميعُ الأعداد المُدخلة دون باقٍ. وتظهر هاتان القيمتان في كل مكان تقريبًا، من تبسيط الكسور وإيجاد المقامات المشتركة، إلى جدولة المواعيد ونسب التروس والتشفير.
طريقة الاستخدام
اكتب عددين صحيحين موجبين أو أكثر مفصولين بفاصلة أو مسافة، مثل 12, 18, 24، ثم اضغط على زر الحساب. تُحوَّل الأعداد السالبة إلى قيمتها المطلقة، وتُقرَّب الأعداد العشرية إلى أقرب عدد صحيح. تُظهر الحاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر معًا في الحال. وإذا كانت إحدى القيم تساوي صفرًا، يُعرض المضاعف المشترك الأصغر بقيمة 0، لأن الصفر لا يشترك في أي مضاعف موجب مع الأعداد الأخرى.
شرح الصيغة الرياضية
بالنسبة لعددين، يعتمد حساب القاسم المشترك الأكبر على خوارزمية إقليدس: نستبدل الزوج (a، b) بالزوج (b، a mod b) مرارًا وتكرارًا إلى أن تصبح القيمة الثانية صفرًا؛ فتكون القيمة الأولى المتبقية هي القاسم المشترك الأكبر. ثم يُحسب المضاعف المشترك الأصغر بالصيغة \( \operatorname{lcm}(a,b) = (a / \gcd) \times b \)، وقد رُتِّبت العملية على هذا النحو للحد من تجاوز السعة العددية. أما إذا كان لدينا ثلاثة أعداد أو أكثر، فيُبنى الناتج بطريقة تدريجية ثنائية: ندمج الناتج الجاري مع العدد التالي، ثم مع الذي يليه، وهكذا.
$$\begin{gathered} \gcd(a_1,\dots,a_k), \qquad \operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_1,\dots,a_k &= \text{Integers (abs. values)} \\ \gcd &= \text{computed via the Euclidean algorithm} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ الأعداد 12 و18 و24. أولًا: \( \gcd(12, 18) = 6 \)، ثم \( \gcd(6, 24) = 6 \)، إذن القاسم المشترك الأكبر هو 6. وأما المضاعف المشترك الأصغر:
$$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36$$ثم
$$\operatorname{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{12} = 72$$إذن المضاعف المشترك الأصغر هو 72. للتحقق: \( 72 \div 12 = 6 \)، و\( 72 \div 18 = 4 \)، و\( 72 \div 24 = 3 \)، كما أن العدد 6 يقسم الأعداد الثلاثة جميعها.
الأسئلة الشائعة
هل القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو نفسه GCF أو HCF؟ نعم — فالقاسم المشترك الأكبر، والعامل المشترك الأكبر، والعامل المشترك الأعلى ثلاثة أسماء لعدد واحد بعينه.
ماذا لو لم يكن للعددين أي عامل مشترك؟ إذا كان القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، فإن العددين أوّليان فيما بينهما (متباينان)، ويكون المضاعف المشترك الأصغر لهما هو حاصل ضرب العددين ببساطة.
هل يمكنني إدخال أكثر من عددين؟ نعم، أدخل ما تشاء من الأعداد الصحيحة؛ ويُحسب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر عبر القائمة بأكملها.
