Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, iki veya daha fazla tam sayıdan oluşan herhangi bir liste için sayılar teorisindeki iki temel değeri bulur: en büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK). Uluslararası kaynaklarda EBOB için GCD, GCF veya HCF kısaltmaları; EKOK için ise LCM kısaltması kullanılır. EBOB, girilen tüm sayıları kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. EKOK ise tüm sayılara kalansız bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır. Bu kavramlar; kesirleri sadeleştirmekten ortak payda bulmaya, zaman çizelgeleri hazırlamaktan dişli oranlarına ve kriptografiye kadar pek çok alanda karşımıza çıkar.
Nasıl kullanılır?
İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı virgül ya da boşlukla ayırarak yazın; örneğin 12, 18, 24 ve hesapla butonuna basın. Negatif sayılar mutlak değerine çevrilir, ondalıklı sayılar ise en yakın tam sayıya yuvarlanır. Hesaplayıcı, EBOB ve EKOK değerlerini aynı anda gösterir. Girdiğiniz değerlerden herhangi biri sıfırsa EKOK 0 olarak verilir; çünkü sıfırın diğer sayılarla ortak pozitif bir katı yoktur.
Formülün açıklaması
İki sayı için EBOB, Öklid algoritması ile bulunur: \((a, b)\) çiftini sürekli olarak \((b, a \bmod b)\) ile değiştirir ve ikinci değer 0 olana kadar bu işleme devam edersiniz; geriye kalan ilk değer EBOB'dur. EKOK ise aşağıdaki formülle hesaplanır:
$$\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)}$$
bu sıralama, taşmayı (overflow) en aza indirmek için tercih edilir. Üç veya daha fazla sayı için sonuç ikişerli olarak elde edilir: önce eldeki sonuç bir sonraki sayıyla birleştirilir, sonra bir sonrakiyle ve bu şekilde devam edilir.
$$\gcd(a_1,\dots,a_k), \qquad \operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)}$$
Çözümlü örnek
12, 18, 24 sayılarını ele alalım. Önce \(\gcd(12, 18) = 6\), ardından \(\gcd(6, 24) = 6\) olur; dolayısıyla EBOB 6'dır. EKOK için: $$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36,$$ ardından $$\operatorname{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{12} = 72;$$ dolayısıyla EKOK 72'dir. Kontrol edelim: \(72 \div 12 = 6\), \(72 \div 18 = 4\), \(72 \div 24 = 3\) ve 6 da üç sayının tamamını böler.
Sıkça sorulan sorular
EBOB ile GCF veya HCF aynı şey mi? Evet — İngilizcedeki Greatest Common Divisor (GCD), Greatest Common Factor (GCF) ve Highest Common Factor (HCF) ifadelerinin hepsi, Türkçedeki EBOB ile aynı sayıyı tanımlar.
İki sayının hiç ortak böleni yoksa ne olur? EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır ve EKOK'ları doğrudan bu sayıların çarpımına eşittir.
İkiden fazla sayı girebilir miyim? Evet. İstediğiniz kadar tam sayı girebilirsiniz; EBOB ve EKOK, listenin tamamı üzerinden hesaplanır.
