À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine deux grandeurs fondamentales de l'arithmétique pour toute liste d'au moins deux nombres entiers : le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM). Le PGCD est le plus grand entier positif qui divise exactement chacun des nombres saisis. Le PPCM est le plus petit entier positif dans lequel chacun des nombres se divise sans reste. On les retrouve partout : pour simplifier des fractions, trouver un dénominateur commun, planifier des cycles, calculer des rapports d'engrenage ou encore en cryptographie. (En anglais, le PGCD se note GCD/GCF/HCF et le PPCM se note LCM.)
Comment l'utiliser
Saisissez au moins deux entiers positifs séparés par des virgules ou des espaces, par exemple 12, 18, 24, puis validez. Les nombres négatifs sont remplacés par leur valeur absolue et les décimaux sont arrondis à l'entier le plus proche. Le calculateur renvoie le PGCD et le PPCM en même temps. Si l'une des valeurs est égale à zéro, le PPCM affiché est 0, car zéro n'a aucun multiple positif commun avec les autres nombres.
La formule expliquée
Pour deux nombres, le PGCD repose sur l'algorithme d'Euclide : on remplace le couple \((a, b)\) par \((b, a \bmod b)\) de façon répétée jusqu'à ce que la seconde valeur devienne 0 ; la première valeur restante est alors le PGCD. Le PPCM s'en déduit par
$$\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)}$$un ordre de calcul choisi pour limiter les dépassements. Pour trois nombres ou plus, le résultat se construit deux à deux : on combine le résultat courant avec le nombre suivant, puis avec le suivant, et ainsi de suite.
Exemple détaillé
Prenons 12, 18 et 24. D'abord \(\gcd(12, 18) = 6\), puis \(\gcd(6, 24) = 6\) : le PGCD vaut donc 6. Pour le PPCM :
$$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36$$puis
$$\operatorname{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{12} = 72$$le PPCM vaut donc 72. Vérification : \(72 \div 12 = 6\), \(72 \div 18 = 4\), \(72 \div 24 = 3\), et 6 divise bien les trois nombres saisis.
Questions fréquentes
Le PGCD est-il la même chose que le GCF ou le HCF ? Oui — en anglais, « Greatest Common Divisor », « Greatest Common Factor » et « Highest Common Factor » désignent tous le même nombre que notre PGCD.
Et si deux nombres n'ont aucun facteur commun ? Si le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux, et leur PPCM est tout simplement le produit de ces nombres.
Puis-je saisir plus de deux nombres ? Oui. Entrez autant d'entiers que vous le souhaitez : le PGCD et le PPCM sont calculés sur l'ensemble de la liste.
