Qu'est-ce que le plus petit commun multiple ?
Le plus petit commun multiple (PPCM) d'un ensemble de nombres est le plus petit entier positif que chacun de ces nombres divise exactement. Lorsqu'il sert à additionner ou soustraire des fractions, on le retrouve sous la forme du plus petit dénominateur commun (PPDC). Le PPCM est une grandeur purement mathématique : les mêmes règles s'appliquent partout, sans aucune unité.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez deux nombres entiers ou plus dans le champ, séparés par des espaces ou des virgules, par exemple 12 15 75. N'utilisez pas la virgule comme séparateur de milliers à l'intérieur d'un même nombre (tapez 2500, et non 2,500). Choisissez une méthode dans le menu « Afficher les étapes » si vous souhaitez voir comment le résultat est obtenu, puis lisez le PPCM dans la case bleue de résultat. Le choix d'une méthode modifie seulement l'explication, jamais la valeur numérique.
La formule expliquée
Le calculateur procède deux à deux en s'appuyant sur la relation entre le plus grand commun diviseur (PGCD) et le PPCM :
$$\text{PPCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\gcd(a, b)}$$Le PGCD lui-même s'obtient grâce à l'algorithme d'Euclide, en remplaçant à chaque fois le plus grand nombre par le reste jusqu'à atteindre zéro. Pour plus de deux nombres, on enchaîne le long de la liste : \(\text{PPCM}(a, b, c) = \text{PPCM}(\text{PPCM}(a, b), c)\). Diviser par le PGCD avant de multiplier permet de garder de petites valeurs intermédiaires et d'éviter tout dépassement.
Exemple détaillé
Cherchons \(\text{PPCM}(12, 15, 75)\). D'abord \(\gcd(12, 15) = 3\), donc
$$\text{PPCM}(12, 15) = \frac{12}{3} \times 15 = 60$$Ensuite \(\gcd(60, 75) = 15\), donc
$$\text{PPCM}(60, 75) = \frac{60}{15} \times 75 = 300$$Par conséquent, \(\text{PPCM}(12, 15, 75) = 300\). Vérification par factorisation en nombres premiers : \(12 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\), \(75 = 3 \times 5^2\). En prenant la plus grande puissance de chaque facteur premier, on obtient
$$2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$$Questions fréquentes
Gère-t-il les nombres décimaux ? Oui. Chaque nombre est multiplié par une puissance de dix jusqu'à ce qu'ils soient tous entiers, on calcule alors le PPCM entier, puis le résultat est ramené à l'échelle initiale. Par exemple, \(\text{PPCM}(1{,}5 \,;\, 2) = 6\).
Que se passe-t-il si je saisis un 0 ? Zéro est un multiple de tout entier ; par convention, un PPCM qui inclut 0 vaut donc 0.
Combien de nombres puis-je saisir ? Au moins deux sont nécessaires ; il n'y a pas de limite supérieure, hormis ce qui tient sur une seule ligne.
