Qu'est-ce que le plus petit commun multiple ?
Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux entiers est le plus petit nombre positif qui est à la fois multiple de l'un et de l'autre. Par exemple, le PPCM de 4 et 6 vaut 12, car 12 est le plus petit nombre que 4 et 6 divisent tous les deux sans reste. Le PPCM est très utile pour additionner des fractions (en cherchant un dénominateur commun), pour planifier des événements qui se répètent, ou encore pour résoudre des problèmes d'arithmétique.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos deux nombres entiers dans les champs a et b : le calculateur affiche aussitôt leur PPCM ainsi que leur plus grand commun diviseur (PGCD). Les valeurs négatives sont prises en compte par leur valeur absolue, puisque le PPCM se définit toujours comme un nombre positif.
La formule expliquée
La façon la plus rapide de calculer le PPCM passe par sa relation avec le PGCD :
$$\text{PPCM}(a, b) = \dfrac{|a \times b|}{\text{PGCD}(a, b)}$$
On commence par déterminer le PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide : on remplace de façon répétée le plus grand nombre par le reste de la division des deux, jusqu'à ce que ce reste soit nul. On divise ensuite le produit des deux nombres par ce PGCD. Pour éviter tout dépassement de capacité, le calculateur divise avant de multiplier : \((a / \text{PGCD}) \times b\).
Exemple détaillé
Cherchons le PPCM de 12 et 18. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; le PGCD vaut donc 6. On a alors $$\text{PPCM} = \frac{|12 \times 18|}{6} = \frac{216}{6} = 36.$$ En effet, 36 est bien le plus petit nombre divisible à la fois par 12 et par 18.
Questions fréquentes
Quel est le PPCM de deux nombres premiers entre eux ? Si deux nombres n'ont aucun facteur commun (PGCD = 1), leur PPCM est tout simplement leur produit. Par exemple, \(\text{PPCM}(7, 5) = 35\).
Le PPCM peut-il être plus petit que l'un des deux nombres ? Non. Le PPCM est toujours supérieur ou égal au plus grand des deux nombres.
Que se passe-t-il avec zéro ? Le PPCM n'est pas défini lorsque l'un des nombres vaut 0 ; dans ce cas, le calculateur renvoie 0.
