ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين صحيحين هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على كليهما. فعلى سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و6 هو 12، لأن 12 هو أصغر عدد يقبل القسمة على كلٍّ من 4 و6 دون باقٍ. ويُستخدم المضاعف المشترك الأصغر على نطاق واسع عند جمع الكسور (لإيجاد المقام المشترك)، وفي تنظيم الأحداث المتكررة، وحل مسائل نظرية الأعداد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العددين الصحيحين في الحقلين a وb، فتعرض لك الحاسبة فورًا المضاعف المشترك الأصغر بينهما إلى جانب القاسم المشترك الأكبر (GCD). أما القيم السالبة فتُعامَل بقيمتها المطلقة، لأن المضاعف المشترك الأصغر يُعرَّف دائمًا كعدد موجب.
شرح القانون
أسرع طريقة لحساب المضاعف المشترك الأصغر هي عبر علاقته بالقاسم المشترك الأكبر:
$$\text{LCM}(a,b) = \dfrac{|a \times b|}{\text{GCD}(a,b)}$$
نبدأ أولًا بإيجاد القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس — وذلك باستبدال العدد الأكبر مرارًا بباقي قسمة العددين، حتى يصبح الباقي صفرًا. بعد ذلك نقسم حاصل ضرب العددين على هذا القاسم المشترك الأكبر. ولتجنّب تجاوز سعة الأعداد، تقوم الحاسبة بالقسمة قبل الضرب: \((a \div \text{GCD}) \times b\).
مثال محلول
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و18. قواسم العدد 12 هي 1 و2 و3 و4 و6 و12، وقواسم العدد 18 هي 1 و2 و3 و6 و9 و18، إذن القاسم المشترك الأكبر = 6. ومن ثَمّ فإن \(\text{LCM} = \dfrac{|12 \times 18|}{6} = \dfrac{216}{6} = 36\). والواقع أن 36 هو أصغر عدد يقبل القسمة على كلٍّ من 12 و18.
الأسئلة الشائعة
ما هو المضاعف المشترك الأصغر لعددين أوّليين فيما بينهما؟ إذا لم يكن للعددين أي عامل مشترك (القاسم المشترك الأكبر = 1)، فإن مضاعفهما المشترك الأصغر يساوي ببساطة حاصل ضربهما. فمثلًا، \(\text{LCM}(7, 5) = 35\).
هل يمكن أن يكون المضاعف المشترك الأصغر أصغر من أيٍّ من العددين؟ لا. المضاعف المشترك الأصغر يكون دائمًا أكبر من أو يساوي العدد الأكبر بين العددين.
ماذا يحدث مع الصفر؟ المضاعف المشترك الأصغر غير معرَّف إذا كان أحد العددين يساوي 0، لذا تُرجع هذه الحاسبة القيمة 0 في تلك الحالة.
