최소공배수란?
두 정수의 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)란 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 양수를 말합니다. 예를 들어 4와 6의 최소공배수는 12인데, 12는 4와 6 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 수이기 때문입니다. 최소공배수는 분수의 덧셈에서 통분(공통분모 찾기), 반복되는 일정의 주기 맞추기, 정수론 문제 풀이 등에서 폭넓게 활용됩니다.
계산기 사용 방법
두 정수를 a와 b 칸에 입력하면, 계산기가 즉시 최소공배수(LCM)와 함께 최대공약수(GCD)까지 보여줍니다. 음수를 입력하면 절댓값으로 처리되는데, 최소공배수는 언제나 양수로 정의되기 때문입니다.
공식 설명
최소공배수를 가장 빠르게 구하는 방법은 최대공약수(GCD)와의 관계를 이용하는 것입니다.
$$\text{LCM}(a,b) = \dfrac{|a \times b|}{\text{GCD}(a,b)}$$
먼저 유클리드 호제법으로 최대공약수를 구합니다. 두 수를 나눈 나머지로 큰 수를 반복해서 바꿔 가다가 나머지가 0이 되면 그때의 값이 GCD입니다. 그다음 두 수의 곱을 이 GCD로 나누면 됩니다. 다만 값이 너무 커져 오버플로가 생기는 것을 막기 위해, 계산기는 곱하기 전에 먼저 나눕니다. 즉 \((a / \text{GCD}) \times b\) 순서로 계산합니다.
예제 풀이
12와 18의 최소공배수를 구해 봅시다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로 \(\text{GCD} = 6\)입니다. 따라서 $$\text{LCM} = \frac{|12 \times 18|}{6} = \frac{216}{6} = 36$$이 됩니다. 실제로 36은 12와 18 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 수입니다.
자주 묻는 질문
서로소인 두 수의 최소공배수는 얼마인가요? 두 수에 공통 약수가 없으면(\(\text{GCD} = 1\)) 최소공배수는 단순히 두 수의 곱이 됩니다. 예를 들어 \(\text{LCM}(7, 5) = 35\)입니다.
최소공배수가 두 수보다 작을 수도 있나요? 그렇지 않습니다. 최소공배수는 항상 두 수 중 큰 수보다 크거나 같습니다.
0이 들어가면 어떻게 되나요? 두 수 중 하나라도 0이면 최소공배수는 정의되지 않습니다. 이 계산기는 그런 경우 0을 반환합니다.
