최소공통분모란?
최소공통분모(LCD)는 여러 분수의 분모를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 작은 양의 정수입니다. 이는 해당 분모들의 최소공배수(LCM)와 완전히 동일합니다. 분수를 더하거나 빼거나 크기를 비교하려면 먼저 분모를 같은 수로 맞춰야 하므로, 최소공통분모를 구하는 것이 그 첫 단계가 됩니다.
계산기 사용법
각 칸에 분수의 분모를 입력하세요. 앞의 두 칸은 필수이고 뒤의 두 칸은 선택 항목이라, 한 번에 최대 4개의 분수까지 처리할 수 있습니다. 필요하지 않으면 선택 칸은 비워 두거나 0으로 두면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 최소공통분모와 함께 몇 개의 분모를 합쳐 계산했는지 알려 줍니다.
공식 풀이
이 계산기는 분모를 두 개씩 묶어 가며 최소공통분모를 구합니다. 임의의 두 수에 대해 \(\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a \cdot b|}{\gcd(a,b)}\) 공식을 사용하며, 여기서 gcd(최대공약수)는 유클리드 호제법으로 찾습니다. 1에서 출발해 분모를 하나씩 차례로 합쳐 나가는데, 지금까지 구한 최소공배수에 다음 값을 결합하고 모든 분모가 포함될 때까지 이 과정을 반복합니다. 그 결과는 모든 분모로 나누어떨어지는 가장 작은 수임이 보장됩니다.
$$\text{LCD} = \operatorname{lcm}\left(\text{D}_1,\ \text{D}_2,\ \text{D}_3,\ \text{D}_4\right)$$
예제 풀이
1/4, 1/6, 1/8을 더한다고 가정해 봅시다. 먼저 \(\operatorname{lcm}(4, 6)\)을 구하면, \(\gcd(4, 6) = 2\)이므로 다음과 같습니다.
$$\operatorname{lcm}(4,6) = \frac{4 \times 6}{2} = 12$$이제 12와 8을 결합하면, \(\gcd(12, 8) = 4\)이므로 다음과 같습니다.
$$\operatorname{lcm}(12,8) = \frac{12 \times 8}{4} = 24$$따라서 최소공통분모는 24입니다. 분수를 24로 통분하면 각각 6/24, 4/24, 3/24가 됩니다.
자주 묻는 질문
최소공통분모와 최소공배수는 같은 건가요? 네, 같습니다. 그 수들이 분수의 분모일 때 최소공배수(LCM)를 최소공통분모(LCD)라고 부르는 것일 뿐, 계산 방법은 완전히 동일합니다.
두 분모가 같으면 어떻게 되나요? 이때 최소공통분모는 그 공통된 값과 같습니다(최대공약수가 그 수 자체와 같기 때문). 따라서 같은 값이 중복되어도 결과는 달라지지 않습니다.
최소공통분모가 분모들의 곱이 될 수도 있나요? 분모들이 서로소(공약수가 없음)일 때만 그렇습니다. 예를 들어 \(\operatorname{lcm}(3, 5) = 15\)인데, 이는 곧 \(3 \times 5\)와 같습니다.
