최소공배수란 무엇인가요?
여러 수의 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)란 그 수들 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 양의 정수를 말합니다. 분수의 덧셈이나 뺄셈을 할 때는 통분에 쓰이는 '최소공통분모(LCD)'로도 등장하죠. 최소공배수는 단위가 없는 순수한 수학적 개념이기 때문에, 어느 나라에서든 동일한 규칙이 그대로 적용됩니다.
계산기 사용 방법
입력란에 두 개 이상의 정수를 공백이나 쉼표로 구분해 입력하세요. 예를 들어 12 15 75처럼요. 단, 하나의 숫자 안에서 천 단위 구분 기호로 쉼표를 쓰면 안 됩니다(2,500이 아니라 2500으로 입력). 풀이 과정을 보고 싶다면 "풀이 과정 표시" 드롭다운에서 방법을 선택한 뒤, 파란색 결과 상자에서 최소공배수를 확인하면 됩니다. 풀이 방법을 바꿔도 설명만 달라질 뿐, 계산 결과 자체는 변하지 않습니다.
공식 풀이
이 계산기는 최대공약수(GCD)와 최소공배수의 관계를 이용해 두 수씩 묶어 계산합니다:
$$\text{LCM}(a,b) = \frac{a}{\gcd(a,b)} \times b$$최대공약수는 유클리드 호제법으로 구하는데, 큰 수를 나머지로 계속 바꿔가며 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다. 수가 세 개 이상이면 목록을 따라 누적해서 계산합니다:
$$\text{LCM}(a,b,c) = \text{LCM}(\text{LCM}(a,b),c)$$곱하기 전에 최대공약수로 먼저 나누면 중간 계산값이 작게 유지되어 오버플로를 막을 수 있습니다.
예제 풀이
\(\text{LCM}(12, 15, 75)\)를 구해 봅시다. 먼저 \(\gcd(12, 15) = 3\)이므로 \(\text{LCM}(12, 15) = 12 / 3 \times 15 = 60\)입니다. 다음으로 \(\gcd(60, 75) = 15\)이므로 \(\text{LCM}(60, 75) = 60 / 15 \times 75 = 300\)이 됩니다. 따라서 \(\text{LCM}(12, 15, 75) = 300\)입니다. 소인수분해로 확인해 볼까요? \(12 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\), \(75 = 3 \times 5^2\)입니다. 각 소수의 가장 높은 거듭제곱을 취하면 \(2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300\)이 나옵니다.
자주 묻는 질문
소수(소수점 수)도 계산할 수 있나요? 네, 가능합니다. 모든 수에 10의 거듭제곱을 곱해 정수로 만든 뒤 정수의 최소공배수를 구하고, 다시 원래 크기로 되돌립니다. 예를 들어 \(\text{LCM}(1.5, 2) = 6\)입니다.
0을 입력하면 어떻게 되나요? 0은 모든 정수의 배수이므로, 0이 포함된 최소공배수는 관례상 0으로 처리됩니다.
몇 개의 수까지 입력할 수 있나요? 최소 두 개는 필요하며, 한 줄에 들어가는 범위 안이라면 개수에 상한은 없습니다.
