¿Qué es el mínimo común múltiplo?
El mínimo común múltiplo (MCM) de un conjunto de números es el entero positivo más pequeño que todos los números del conjunto dividen de forma exacta. Cuando se utiliza para sumar o restar fracciones, aparece como mínimo común denominador (m.c.d. de denominadores). El MCM es una magnitud puramente matemática, así que las mismas reglas se aplican en cualquier lugar y no intervienen unidades.
Cómo usar esta calculadora
Escribe dos o más números enteros en el campo de entrada, separados por espacios o comas; por ejemplo, 12 15 75. No uses la coma como separador de miles dentro de un mismo número (introduce 2500, no 2.500). Elige un método en el desplegable «Mostrar pasos» si quieres ver cómo se llega al resultado y, después, lee el MCM en el cuadro azul. Seleccionar un método de pasos solo cambia la explicación, nunca el resultado numérico.
La fórmula explicada
La calculadora trabaja por parejas aprovechando la relación entre el máximo común divisor (MCD) y el MCM:
$$\text{MCM}(a, b) = \frac{a}{\gcd(a, b)} \times b$$El propio MCD se obtiene con el algoritmo de Euclides, sustituyendo repetidamente el número mayor por el resto hasta llegar a cero. Para más de dos números, el cálculo se encadena a lo largo de la lista: \(\text{MCM}(a, b, c) = \text{MCM}(\text{MCM}(a, b), c)\). Dividir entre el MCD antes de multiplicar mantiene pequeños los valores intermedios y evita el desbordamiento.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(\text{MCM}(12, 15, 75)\). Primero, \(\gcd(12, 15) = 3\), así que
$$\text{MCM}(12, 15) = \frac{12}{3} \times 15 = 60$$A continuación, \(\gcd(60, 75) = 15\), de modo que
$$\text{MCM}(60, 75) = \frac{60}{15} \times 75 = 300$$Por tanto, \(\text{MCM}(12, 15, 75) = 300\). Lo comprobamos con la factorización en números primos: \(12 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\), \(75 = 3 \times 5^2\). Tomando la mayor potencia de cada primo obtenemos
$$2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$$Preguntas frecuentes
¿Funciona con decimales? Sí. Cada número se multiplica por una potencia de diez hasta que todos sean enteros, se calcula el MCM entero y luego se vuelve a la escala original. Por ejemplo, \(\text{MCM}(1{,}5; 2) = 6\).
¿Y si introduzco un 0? Cero es múltiplo de cualquier entero, por lo que, por convención, un MCM que incluya el 0 es 0.
¿Cuántos números puedo introducir? Se necesitan al menos dos; no hay límite máximo más allá de lo que quepa en una línea.
