ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة من الأعداد هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كل عدد من أعداد المجموعة دون باقٍ. ويُعرف أحياناً بالمضاعف المشترك الأدنى، وعند استخدامه في جمع الكسور أو طرحها يظهر باسم المقام المشترك الأصغر (LCD). والمضاعف المشترك الأصغر كمية رياضية بحتة، لذا تنطبق القواعد نفسها في كل مكان دون أي وحدات قياس.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب عددين صحيحين أو أكثر في خانة الإدخال، مفصولة بمسافات أو فواصل، مثل 12 15 75. لا تستخدم الفاصلة كفاصل للآلاف داخل العدد الواحد (أدخل 2500 وليس 2,500). اختر طريقة من قائمة «إظهار الخطوات» إذا أردت معرفة كيفية الوصول إلى الناتج، ثم اقرأ قيمة LCM من المربع الأزرق الخاص بالنتيجة. اختيار طريقة الخطوات يغيّر الشرح فقط ولا يغيّر القيمة العددية للنتيجة إطلاقاً.
شرح المعادلة
تعمل الحاسبة على الأعداد مثنى مثنى مستندةً إلى العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر: $$\text{LCM}(a,b) = \frac{a}{\gcd(a,b)} \times b$$ أما القاسم المشترك الأكبر نفسه فيُحسب بخوارزمية إقليدس، حيث نستبدل العدد الأكبر بالباقي مراراً حتى يصل إلى صفر. وعند وجود أكثر من عددين تُكرَّر العملية على طول القائمة: \(\text{LCM}(a, b, c) = \text{LCM}(\text{LCM}(a, b), c)\). والقسمة على القاسم المشترك الأكبر قبل الضرب تُبقي القيم الوسيطة صغيرة وتمنع تجاوز السعة.
مثال محلول
أوجد \(\text{LCM}(12, 15, 75)\). أولاً \(\gcd(12, 15) = 3\)، إذن $$\text{LCM}(12, 15) = \frac{12}{3} \times 15 = 60.$$ ثم \(\gcd(60, 75) = 15\)، إذن $$\text{LCM}(60, 75) = \frac{60}{15} \times 75 = 300.$$ وبالتالي \(\text{LCM}(12, 15, 75) = 300\). وللتحقق عبر التحليل إلى عوامل أولية: \(12 = 2^2 \times 3\)، و\(15 = 3 \times 5\)، و\(75 = 3 \times 5^2\). وبأخذ أعلى قوة لكل عامل أولي نحصل على $$2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300.$$
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع الأعداد العشرية؟ نعم. يُضرب كل عدد في قوة من قوى العشرة حتى تصبح جميع الأعداد صحيحة، ثم يُحسب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة، ثم تُعاد النتيجة إلى مقياسها الأصلي. على سبيل المثال \(\text{LCM}(1.5, 2) = 6\).
ماذا لو أدخلت العدد 0؟ الصفر مضاعف لكل عدد صحيح، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر الذي يتضمن صفراً يساوي صفراً بحسب الاصطلاح.
كم عدداً يمكنني إدخاله؟ يُشترط إدخال عددين على الأقل، ولا حد أقصى سوى ما يتسع له السطر الواحد.
