ما هي حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
تحسب هذه الأداة القاسم المشترك الأكبر (GCF) — ويُسمى أيضاً القاسم المشترك الأعظم (GCD) أو العامل المشترك الأكبر (HCF) — والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين صحيحين. القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم العددين المُدخلين دون باقٍ، بينما المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على كلا العددين دون باقٍ. وهذه مفاهيم حسابية عالمية تُستخدم في كل مكان دون اختلاف بين بلد وآخر.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العددين الصحيحين الموجبين في الخانتين المخصصتين لـ a وb، ثم اقرأ القاسم المشترك الأكبر في الخانة المميزة والمضاعف المشترك الأصغر في الجدول أدناه. تتعامل الحاسبة مع أي زوج من الأعداد الصحيحة وتعرض النتائج على الفور.
شرح القانون
يُستخرج القاسم المشترك الأكبر عبر خوارزمية إقليدس: نستبدل الزوج (a, b) بالزوج (b, a mod b) بشكل متكرر إلى أن يصبح العدد الثاني صفراً، فيكون العدد الأول المتبقي هو القاسم المشترك الأكبر. وبمعرفة القاسم المشترك الأكبر يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من العلاقة $$\text{lcm}(\text{a},\,\text{b}) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\text{gcf}(\text{a},\,\text{b})}$$ وتصحّ هذه العلاقة لأن حاصل ضرب العددين يساوي حاصل ضرب قاسمهما المشترك الأكبر في مضاعفهما المشترك الأصغر.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 12\) و\(b = 18\). بتطبيق خوارزمية إقليدس: \(\gcd(12, 18) \leftarrow \gcd(18, 12) \leftarrow \gcd(12, 6) \leftarrow \gcd(6, 0) = 6\)، إذن القاسم المشترك الأكبر هو 6. ثم نحسب المضاعف المشترك الأصغر $$\text{LCM} = 12 \times 18 \div 6 = 216 \div 6 = 36$$ وبذلك يكون القاسم المشترك الأكبر = 6 والمضاعف المشترك الأصغر = 36.
الأسئلة الشائعة
هل القاسم المشترك الأكبر (GCF) والقاسم المشترك الأعظم (GCD) شيء واحد؟ نعم — فالقاسم المشترك الأكبر، والقاسم المشترك الأعظم، والعامل المشترك الأكبر تشير جميعها إلى العدد نفسه.
ماذا لو كان أحد العددين مضاعفاً للآخر؟ عندئذٍ يكون العدد الأصغر هو القاسم المشترك الأكبر والعدد الأكبر هو المضاعف المشترك الأصغر. فمثلاً \(\text{GCF}(4, 12) = 4\) و\(\text{LCM}(4, 12) = 12\).
هل يمكن استخدامها مع الأعداد الأولية؟ نعم. فبالنسبة لعددين أوليين مختلفين يكون القاسم المشترك الأكبر دائماً 1 ويكون المضاعف المشترك الأصغر حاصل ضربهما.
