ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تأخذ هذه الأداة مجموعة مكوّنة من عددين صحيحين موجبين أو أكثر، وتستخرج لك ثلاثة أشياء دفعةً واحدة: القائمة الكاملة لعوامل (قواسم) كل عدد، والعوامل المشتركة بين جميع الأعداد، والقاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)، المعروف أيضًا باسم القاسم المشترك الأعظم (GCD). وهي أداة مفيدة لتبسيط الكسور، وتحليل المقادير الجبرية إلى عواملها، وحلّ واجبات نظرية الأعداد.
كيفية الاستخدام
أدخل أعدادك الصحيحة مفصولة بفواصل، مثل 136، 64، 24، 16، ثم اطّلع على النتائج. تُعرض قائمة عوامل كل عدد مرتّبة تصاعديًا، تليها العوامل المشتركة، ثم قيمة القاسم المشترك الأكبر منفردة. استخدم الأعداد الصحيحة الموجبة فقط؛ فالصفر والأعداد السالبة والكسور العشرية ليست مدخلات صالحة كقواسم.
شرح القاعدة الحسابية
يكون العدد الصحيح d عاملًا للعدد n عندما يكون \(n \bmod d = 0\) (أي عند قسمة n على d لا يتبقّى باقٍ). ولإيجاد جميع العوامل بسرعة، نُكرّر القيمة i من 1 حتى الجذر التربيعي للعدد n؛ وكلّما قسم i العدد n تمامًا، كان كلٌّ من i وn/i عاملًا. أما القاسم المشترك الأكبر لقائمة من الأعداد فيُحسب على أزواج باستخدام خوارزمية إقليدس:
$$\gcd(a, 0) = a, \quad \gcd(a, b) = \gcd(b, \; a \bmod b)$$ما دامت b لا تساوي صفرًا، نستبدل الزوج (a، b) بالزوج (b، a mod b)؛ والقيمة المتبقّية a هي القاسم المشترك الأكبر. ومن الحقائق المفيدة أنّ العوامل المشتركة للمجموعة كلها هي تحديدًا قواسم القاسم المشترك الأكبر نفسه:
$$\text{CommonFactors} = \{\, d : g \bmod d = 0 \,\}, \quad g = \gcd(n_1, n_2, \dots)$$
مثال محلول
للأعداد 136، 64، 24، 16: عوامل العدد 16 هي 1، 2، 4، 8، 16؛ وعوامل العدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24؛ وعوامل العدد 64 هي 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64؛ وعوامل العدد 136 هي 1، 2، 4، 8، 17، 34، 68، 136. وتعطينا خوارزمية إقليدس \(\gcd(16, 24) = 8\)، ثم \(\gcd(8, 64) = 8\)، ثم \(\gcd(8, 136) = 8\)؛ فيكون القاسم المشترك الأكبر \(= 8\). وقواسم العدد 8 هي 1، 2، 4، 8 — وهي نفسها العوامل المشتركة.
الأسئلة الشائعة
هل القاسم المشترك الأكبر هو نفسه القاسم المشترك الأعظم؟ نعم. فمصطلح "القاسم المشترك الأكبر" (GCF) ومصطلح "القاسم المشترك الأعظم" (GCD) اسمان لقيمة واحدة.
ماذا لو لم تشترك الأعداد في أي عامل؟ كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة تشترك على الأقل في العامل 1؛ لذا فإنّ العوامل المشتركة لا تقلّ عن {1}، والقاسم المشترك الأكبر لا يقلّ عن 1. وتُسمّى الأعداد التي يكون عاملها المشترك الوحيد هو 1 أعدادًا أوّلية فيما بينها (متباينة العوامل).
هل يمكنني إدخال عدد واحد فقط؟ نعم — تُعرض عندئذٍ عوامله، ويكون القاسم المشترك الأكبر مساويًا للعدد نفسه.
