Qué hace esta calculadora
Esta herramienta parte de un conjunto de dos o más números enteros positivos y calcula tres cosas: la lista completa de factores (divisores) de cada número, los factores comunes que comparten todos ellos y el máximo común divisor (MCD), también conocido como máximo común factor. Resulta muy práctica para simplificar fracciones, factorizar expresiones y resolver ejercicios de teoría de números.
Cómo usarla
Escribe tus números enteros separados por comas, por ejemplo 136, 64, 24, 16, y consulta los resultados. La lista de factores de cada número aparece en orden ascendente, seguida de los factores comunes y del valor único del MCD. Usa únicamente enteros positivos; el cero, los números negativos y los decimales no son entradas válidas como divisores.
La fórmula explicada
Un entero d es factor de n cuando \(n \bmod d = 0\). Para hallar todos los factores con rapidez recorremos i desde 1 hasta la raíz cuadrada de n; cada vez que i divide a n, tanto \(i\) como \(n/i\) son factores. El MCD de una lista se obtiene por parejas con el algoritmo de Euclides: mientras b no sea cero, sustituimos (a, b) por (b, a mód b); el valor de a que queda es el MCD.
$$\gcd(a, 0) = a, \quad \gcd(a, b) = \gcd(b, \; a \bmod b)$$Un detalle muy útil es que los factores comunes de todo el conjunto son exactamente los divisores del MCD.
$$\text{CommonFactors} = \{\, d : g \bmod d = 0 \,\}, \quad g = \gcd(n_1, n_2, \dots)$$
Ejemplo resuelto
Para 136, 64, 24, 16: los factores de 16 son 1, 2, 4, 8, 16; los de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; los de 64 son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; y los de 136 son 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136. Con Euclides obtenemos:
$$\gcd(16, 24) = 8, \quad \gcd(8, 64) = 8, \quad \gcd(8, 136) = 8$$así que el MCD = 8. Los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8: esos son los factores comunes.
Preguntas frecuentes
¿El MCD es lo mismo que el máximo común factor? Sí. «Máximo común divisor» y «máximo común factor» son dos nombres para el mismo valor.
¿Qué pasa si los números no comparten factores? Todo conjunto de enteros positivos comparte el factor 1, por lo que los factores comunes son al menos {1} y el MCD vale como mínimo 1. Los números cuyo único factor común es 1 se llaman coprimos o primos entre sí.
¿Puedo introducir un solo número? Sí: se mostrarán sus factores y el MCD será ese mismo número.
