À quoi sert ce calculateur
Cet outil prend un ensemble d'au moins deux nombres entiers positifs et détermine trois choses : la liste complète des facteurs (diviseurs) de chaque nombre, les facteurs communs partagés par l'ensemble des nombres, et le plus grand commun diviseur, abrégé PGCD. Il est précieux pour simplifier des fractions, factoriser des expressions ou résoudre des exercices d'arithmétique.
Comment l'utiliser
Saisissez vos nombres entiers séparés par des virgules, par exemple 136, 64, 24, 16, puis consultez les résultats. La liste des facteurs de chaque nombre s'affiche par ordre croissant, suivie des facteurs communs et de la valeur unique du PGCD. N'utilisez que des entiers positifs : zéro, les nombres négatifs et les décimaux ne sont pas des diviseurs valides.
La formule expliquée
Un entier d est un facteur de n lorsque \(n \bmod d = 0\). Pour trouver rapidement tous les facteurs, on fait varier i de 1 jusqu'à la racine carrée de n ; chaque fois que i divise n, alors \(i\) et \(n/i\) sont tous deux des facteurs. Le PGCD d'une liste se calcule deux à deux grâce à l'algorithme d'Euclide :
$$\gcd(a, 0) = a, \quad \gcd(a, b) = \gcd(b, \; a \bmod b)$$tant que b n'est pas nul, on remplace (a, b) par (b, a mod b) ; le a restant est le PGCD. Une propriété bien utile : les facteurs communs de l'ensemble sont exactement les diviseurs du PGCD.
$$\text{CommonFactors} = \{\, d : g \bmod d = 0 \,\}, \quad g = \gcd(n_1, n_2, \dots)$$
Exemple concret
Pour 136, 64, 24, 16 : les facteurs de 16 sont 1, 2, 4, 8, 16 ; ceux de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ; ceux de 64 sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ; ceux de 136 sont 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136. L'algorithme d'Euclide donne \(\gcd(16, 24) = 8\), puis \(\gcd(8, 64) = 8\), puis \(\gcd(8, 136) = 8\), soit un PGCD = 8. Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4, 8 : ce sont précisément les facteurs communs.
Questions fréquentes
Le PGCD est-il la même chose que le « plus grand facteur commun » ? Oui. « Plus grand commun diviseur » et « plus grand facteur commun » désignent la même valeur ; en français, on emploie surtout PGCD.
Et si les nombres n'ont aucun facteur en commun ? Tout ensemble d'entiers positifs partage le facteur 1 : les facteurs communs comprennent donc au minimum {1} et le PGCD vaut au moins 1. Des nombres dont le seul facteur commun est 1 sont dits premiers entre eux.
Puis-je saisir un seul nombre ? Oui — ses facteurs sont listés et le PGCD est égal au nombre lui-même.
