Công Cụ Này Làm Gì
Công cụ này nhận vào một dãy gồm hai hay nhiều số nguyên dương và tính ra ba kết quả: danh sách đầy đủ các ước số của từng số, các ước chung mà mọi số đều có, và ước chung lớn nhất (ƯCLN) — trong tiếng Anh gọi là GCF (greatest common factor) hay GCD (greatest common divisor). Đây là công cụ hữu ích khi bạn cần rút gọn phân số, phân tích biểu thức thành nhân tử hay làm bài tập về số học và lý thuyết số.
Cách Sử Dụng
Nhập các số nguyên dương, ngăn cách nhau bằng dấu phẩy, ví dụ 136, 64, 24, 16, rồi xem kết quả. Danh sách ước của mỗi số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, tiếp theo là các ước chung và cuối cùng là giá trị ƯCLN duy nhất. Lưu ý chỉ nhập số nguyên dương; số 0, số âm và số thập phân đều không hợp lệ.
Giải Thích Công Thức
Một số nguyên d là ước của n khi n chia hết cho d, tức là \(n \bmod d = 0\). Để tìm tất cả các ước một cách nhanh chóng, ta cho i chạy từ 1 đến căn bậc hai của n; mỗi khi i chia hết n thì cả i lẫn \(n/i\) đều là ước. ƯCLN của cả dãy được tính theo từng cặp bằng thuật toán Euclid: chừng nào b còn khác 0, ta thay (a, b) bằng (b, a mod b); giá trị a còn lại chính là ƯCLN.
$$\gcd(a, 0) = a, \quad \gcd(a, b) = \gcd(b, \; a \bmod b)$$
Một điều thú vị là các ước chung của cả dãy chính xác là các ước của ƯCLN.
$$\text{CommonFactors} = \{\, d : g \bmod d = 0 \,\}, \quad g = \gcd(n_1, n_2, \dots)$$
Ví Dụ Minh Họa
Với dãy 136, 64, 24, 16: ước của 16 là 1, 2, 4, 8, 16; ước của 24 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; ước của 64 là 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; ước của 136 là 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136. Áp dụng thuật toán Euclid: \(\gcd(16, 24) = 8\), tiếp đến \(\gcd(8, 64) = 8\), rồi \(\gcd(8, 136) = 8\), nên \(\gcd = 8\). Các ước của 8 là 1, 2, 4, 8 — đó chính là những ước chung của cả dãy.
Câu Hỏi Thường Gặp
ƯCLN có giống GCD không? Có. "Greatest common factor" (GCF) và "greatest common divisor" (GCD) là hai cách gọi của cùng một giá trị, tương ứng với "ước chung lớn nhất" trong tiếng Việt.
Nếu các số không có ước chung nào thì sao? Mọi tập hợp số nguyên dương đều có chung ước là 1, nên ước chung tối thiểu luôn là {1} và ƯCLN tối thiểu là 1. Những số chỉ có ước chung duy nhất là 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
Tôi có thể nhập chỉ một số không? Được — khi đó công cụ liệt kê các ước của số đó, và ƯCLN chính bằng chính số đó.
