Qu'est-ce que le calculateur de diviseurs d'un nombre ?
Cet outil identifie chaque diviseur positif d'un entier que vous saisissez. Il affiche tous les diviseurs par ordre croissant, les regroupe en paires de facteurs, présente la décomposition en facteurs premiers sous forme développée et sous forme de puissances, puis indique si le nombre est premier, composé, ou ni l'un ni l'autre. Il fonctionne avec n'importe quel entier, positif ou négatif : la valeur absolue des diviseurs reste identique dans les deux cas.
Comment l'utiliser
Saisissez un nombre entier dans le champ « Trouver les diviseurs de : » et validez. Le résultat affiche le nombre de diviseurs comme chiffre principal, accompagné d'un tableau détaillé en dessous. Le zéro est refusé, car tout entier non nul le divise (une infinité de diviseurs), et le 1 est signalé comme n'étant ni premier ni composé.
La formule expliquée
Le calculateur procède par divisions successives jusqu'à la racine carrée de n. Pour chaque \(i\) allant de 1 à la partie entière de \(\sqrt{n}\), si \(n\) modulo \(i\) vaut 0, alors \(i\) et \(\tfrac{n}{i}\) sont tous deux des diviseurs, ce qui forme naturellement des paires de facteurs :
$$i \times \frac{n}{i} = n$$La décomposition en facteurs premiers s'écrit :
$$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$et le nombre de diviseurs est donné par :
$$d(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$$Pour la décomposition en facteurs premiers, on divise de façon répétée par le plus petit nombre premier. Un nombre est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs (1 et lui-même), et composé lorsqu'il en a plus de deux.
Exemple concret : 72
\(\sqrt{72}\) vaut environ 8,49 ; on teste donc \(i\) de 1 à 8. Les diviseurs trouvés sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 — soit douze diviseurs répartis en six paires : \(1\times72\), \(2\times36\), \(3\times24\), \(4\times18\), \(6\times12\), \(8\times9\). La décomposition en facteurs premiers est :
$$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$$Avec ses 12 diviseurs, 72 est un nombre composé.
Questions fréquentes
Pourquoi un carré parfait a-t-il un nombre impair de diviseurs ? Parce que sa racine carrée s'associe à elle-même (pour 36, la paire est \(6 \times 6\)) : ce diviseur n'est donc compté qu'une seule fois.
Le 1 est-il un nombre premier ? Non. Le 1 ne possède qu'un seul diviseur et n'est classé ni comme premier ni comme composé.
Les nombres négatifs ont-ils des diviseurs ? Oui ; leurs diviseurs ont la même valeur absolue que ceux du nombre positif. Nous affichons donc les diviseurs positifs de \(|n|\).
