Qu'est-ce que le conditionnement d'une matrice ?
Le conditionnement \(\kappa(A)\) mesure la sensibilité de la solution d'un système linéaire \(Ax = b\) face à de petites variations (ou erreurs) dans les données. Un conditionnement faible (proche de 1) indique que la matrice est bien conditionnée et numériquement stable ; un conditionnement élevé signale au contraire une matrice mal conditionnée, pour laquelle de minuscules erreurs d'entrée peuvent engendrer d'importantes erreurs de sortie. Le conditionnement spectral, ou conditionnement en norme 2, est égal au rapport entre la plus grande et la plus petite valeur singulière : \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max} / \sigma_{\min}\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les quatre coefficients de votre matrice 2×2 \(A\) (\(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\), \(a_{22}\)) et le calculateur renvoie le conditionnement en norme 2, accompagné des deux valeurs singulières et du déterminant. Si la plus petite valeur singulière est nulle, la matrice est singulière et le conditionnement est infini.
La formule expliquée
Pour toute matrice, \(\kappa(A) = \lVert A \rVert \cdot \lVert A^{-1} \rVert\). En utilisant la norme 2, on a \(\lVert A \rVert = \sigma_{\max}\) et \(\lVert A^{-1} \rVert = 1/\sigma_{\min}\), ce qui donne \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\). Les valeurs singulières sont les racines carrées des valeurs propres de \(A^{T}A\). Pour une matrice 2×2, on forme \(M = A^{T}A\), on calcule ses valeurs propres \(\lambda = (\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4\cdot\det})/2\), puis on prend \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).
$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} M &= A^{T}A,\quad A = \begin{bmatrix} \text{a}_{11} & \text{a}_{12} \\ \text{a}_{21} & \text{a}_{22} \end{bmatrix} \\ \lambda_{\max,\min} &= \frac{\operatorname{tr}(M) \pm \sqrt{\operatorname{tr}(M)^2 - 4\det(M)}}{2} \\ \sigma &= \sqrt{\lambda} \end{aligned} \right.$$
Exemple concret
Prenons \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Alors \(A^{T}A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), dont les valeurs propres sont 4 et 1. Les valeurs singulières valent donc \(\sigma_{\max} = 2\) et \(\sigma_{\min} = 1\), d'où \(\kappa_2(A) = 2/1 = 2\). Cette matrice est très bien conditionnée.
FAQ
Qu'est-ce qu'un « bon » conditionnement ? Les valeurs proches de 1 sont idéales. En règle générale, \(\log_{10}(\kappa)\) indique approximativement le nombre de chiffres de précision que vous risquez de perdre en résolvant le système.
Pourquoi mon conditionnement est-il infini ? La matrice est singulière (déterminant nul), donc \(\sigma_{\min} = 0\) et \(A^{-1}\) n'existe pas.
Quelle norme est utilisée ici ? Le conditionnement en norme 2 (spectrale), fondé sur les valeurs singulières. D'autres normes (norme 1, norme ∞) peuvent aboutir à des valeurs numériques différentes.
