Máy Tính Số Điều Kiện Của Ma Trận

Nhập phép tính

a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂

Kết quả

Số điều kiện κ₂(A)

2

số điều kiện phổ (theo chuẩn 2)

Giá trị kỳ dị lớn nhất σ₁	2
Giá trị kỳ dị nhỏ nhất σ₂	1
Định thức det(A)	2

Số điều kiện của ma trận là gì?

Số điều kiện \(\kappa(A)\) cho biết nghiệm của hệ phương trình tuyến tính \(Ax = b\) nhạy cảm đến mức nào trước những thay đổi (sai số) nhỏ trong dữ liệu. Số điều kiện nhỏ (gần bằng 1) nghĩa là ma trận có điều kiện tốt và ổn định về mặt số học; số điều kiện lớn nghĩa là ma trận có điều kiện xấu, khi đó chỉ một sai số đầu vào rất nhỏ cũng có thể gây ra sai lệch lớn ở đầu ra. Số điều kiện phổ (hay theo chuẩn 2) bằng tỉ số giữa giá trị kỳ dị lớn nhất và giá trị kỳ dị nhỏ nhất:

$$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$

A 2×2 matrix maps the unit circle to an ellipse whose semi-axes are the singular values σ_max and σ_min.

Cách sử dụng máy tính

Bạn chỉ cần nhập bốn phần tử của ma trận 2×2 \(A\) (\(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\)), máy tính sẽ trả về số điều kiện theo chuẩn 2 cùng với hai giá trị kỳ dị và định thức. Nếu giá trị kỳ dị nhỏ nhất bằng 0 thì ma trận suy biến và số điều kiện là vô cùng.

Giải thích công thức

Với bất kỳ ma trận nào, \(\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\). Khi dùng chuẩn 2, ta có \(\|A\| = \sigma_{\max}\) và \(\|A^{-1}\| = 1/\sigma_{\min}\), từ đó suy ra:

$$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$$

Các giá trị kỳ dị chính là căn bậc hai của các trị riêng của \(A^T A\). Đối với ma trận 2×2, ta lập \(M = A^T A\), tính các trị riêng

$$\lambda_{\max,\min} = \frac{\operatorname{tr}(M) \pm \sqrt{\operatorname{tr}(M)^2 - 4\det(M)}}{2}$$

rồi lấy \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).

Quảng cáo

κ(A) ranges from 1 (perfectly conditioned) upward; large values indicate an ill-conditioned matrix.

Ví dụ minh họa

Lấy \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Khi đó \(A^T A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), có các trị riêng là 4 và 1. Các giá trị kỳ dị là \(\sigma_{\max} = 2\) và \(\sigma_{\min} = 1\), nên

$$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2$$

Ma trận này có điều kiện rất tốt.

Câu hỏi thường gặp

Số điều kiện "tốt" là bao nhiêu? Những giá trị gần bằng 1 là lý tưởng. Theo một quy tắc ước lượng, \(\log_{10}(\kappa)\) cho biết bạn có thể mất khoảng bao nhiêu chữ số chính xác khi giải hệ phương trình.

Vì sao số điều kiện của tôi là vô cùng? Vì ma trận bị suy biến (định thức bằng 0), nên \(\sigma_{\min} = 0\) và ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\) không tồn tại.

Máy tính dùng chuẩn nào? Đây là số điều kiện theo chuẩn 2 (chuẩn phổ), dựa trên các giá trị kỳ dị. Các chuẩn khác (chuẩn 1, chuẩn ∞) có thể cho ra giá trị số khác.