मैट्रिक्स कंडीशन नंबर क्या होता है?
कंडीशन नंबर \(\kappa(A)\) यह मापता है कि किसी रैखिक तंत्र \(Ax = b\) का हल डेटा में होने वाले छोटे-छोटे बदलावों (त्रुटियों) के प्रति कितना संवेदनशील है। छोटा कंडीशन नंबर (1 के करीब) यह दर्शाता है कि मैट्रिक्स अच्छी तरह कंडीशन्ड और संख्यात्मक रूप से स्थिर है; जबकि बड़ा कंडीशन नंबर बताता है कि मैट्रिक्स खराब कंडीशन्ड है, यानी इनपुट में नन्हीं-सी त्रुटि भी आउटपुट में बड़ी गड़बड़ी पैदा कर सकती है। स्पेक्ट्रल या 2-नॉर्म कंडीशन नंबर सबसे बड़े सिंगुलर वैल्यू और सबसे छोटे सिंगुलर वैल्यू के अनुपात के बराबर होता है:
$$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने 2×2 मैट्रिक्स \(A\) की चारों प्रविष्टियाँ (\(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\)) दर्ज करें और कैलकुलेटर आपको 2-नॉर्म कंडीशन नंबर के साथ-साथ दोनों सिंगुलर वैल्यू और सारणिक (डिटरमिनेंट) भी देगा। यदि सबसे छोटा सिंगुलर वैल्यू शून्य हो, तो मैट्रिक्स सिंगुलर होता है और कंडीशन नंबर अनंत (infinite) होता है।
सूत्र की व्याख्या
किसी भी मैट्रिक्स के लिए \(\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\) होता है। 2-नॉर्म का उपयोग करने पर \(\|A\| = \sigma_{\max}\) और \(\|A^{-1}\| = 1/\sigma_{\min}\) होता है, जिससे \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\) प्राप्त होता है। सिंगुलर वैल्यू, \(A^TA\) के आइगेनवैल्यू के वर्गमूल होते हैं। 2×2 मैट्रिक्स के लिए हम \(M = A^TA\) बनाते हैं, इसके आइगेनवैल्यू \(\lambda = (\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4\cdot\det})/2\) निकालते हैं, और फिर \(\sigma = \sqrt{\lambda}\) लेते हैं।
$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)। तब \(A^TA = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) होगा, जिसके आइगेनवैल्यू 4 और 1 हैं। सिंगुलर वैल्यू \(\sigma_{\max} = 2\) और \(\sigma_{\min} = 1\) होंगे, इसलिए
$$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2$$यह मैट्रिक्स बहुत अच्छी तरह कंडीशन्ड है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
"अच्छा" कंडीशन नंबर कितना होता है? 1 के आसपास के मान आदर्श माने जाते हैं। एक मोटे नियम के तौर पर, \(\log_{10}(\kappa)\) यह बताता है कि तंत्र को हल करते समय आप लगभग कितने अंकों की सटीकता खो सकते हैं।
मेरा कंडीशन नंबर अनंत क्यों आ रहा है? क्योंकि मैट्रिक्स सिंगुलर है (सारणिक 0 है), इसलिए \(\sigma_{\min} = 0\) हो जाता है और \(A^{-1}\) का अस्तित्व ही नहीं रहता।
यह किस नॉर्म का उपयोग करता है? यह सिंगुलर वैल्यू पर आधारित 2-नॉर्म (स्पेक्ट्रल) कंडीशन नंबर का उपयोग करता है। अन्य नॉर्म (1-नॉर्म, ∞-नॉर्म) अलग संख्यात्मक मान दे सकते हैं।
