अभाज्य संख्या कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

एक पूर्ण संख्या दर्ज करें

परिणाम

Is 97 prime?

YES

This is a prime number

परखी गई संख्या	97
Result	Prime

अभाज्य संख्या क्या होती है?

अभाज्य संख्या (prime number) वह पूर्ण संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और जिसके ठीक दो ही अलग-अलग धनात्मक भाजक हों — 1 और स्वयं वह संख्या। जैसे 2, 3, 5, 7, 11 और 13। 1 से बड़ी जो संख्याएँ अभाज्य नहीं होतीं, उन्हें भाज्य संख्या (composite) कहते हैं — इन्हें छोटी पूर्ण संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। यह कैलकुलेटर आपके द्वारा दर्ज की गई किसी भी संख्या के बारे में तुरंत बता देता है कि वह अभाज्य है या नहीं, और अगर नहीं है तो उसका सबसे छोटा भाजक भी दिखा देता है।

अभाज्य संख्या आयत नहीं बना सकती (\(1 \times n\) को छोड़कर), जबकि संयुक्त संख्या बना सकती है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

इनपुट बॉक्स में कोई भी पूर्ण संख्या (0 या उससे बड़ी) लिखें और सबमिट करें। परिणाम वाला हीरो बॉक्स संख्या के अभाज्य होने पर हाँ और भाज्य होने पर नहीं दिखाएगा। जब संख्या भाज्य होती है, तो तालिका 1 से बड़ा सबसे छोटा भाजक दिखाती है, जिससे आप पूरा गुणनखंडन शुरू कर सकते हैं।

सूत्र को समझें

अभाज्यता की कुशलतापूर्वक जाँच के लिए आपको केवल \(n\) के वर्गमूल तक के भाजकों को ही परखना होता है। अगर \(n\) का कोई भाजक उसके वर्गमूल से बड़ा है, तो उसका एक मिलान करने वाला भाजक वर्गमूल से छोटा भी ज़रूर होगा — इसलिए वहाँ तक जाँचना काफी है। औपचारिक रूप से, \(n\) तब अभाज्य होती है जब \(n > 1\) हो और 2 से लेकर \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor\) तक के हर पूर्णांक \(i\) के लिए \(n \bmod i \neq 0\) हो।

$$n \text{ is prime} \iff n > 1 \text{ and } n \bmod i \neq 0 \;\; \forall\, i \in [2, \sqrt{n}]$$

इससे \(n\) से नीचे की हर संख्या को परखने की तुलना में काम बहुत कम हो जाता है।

आपको केवल \(n\) के वर्गमूल तक के भाजक जाँचने होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(n = 97\)। इसका वर्गमूल लगभग \(9.85\) है, इसलिए हम भाजक 2, 3, 5, 7 और 9 को परखते हैं। इनमें से कोई भी 97 को पूरी तरह विभाजित नहीं करता (97 विषम है, और 3, 5 या 7 से विभाज्य नहीं है), इसलिए 97 अभाज्य है। अब लीजिए \(n = 91\)। 2, 3, 5, फिर 7 को परखने पर हम पाते हैं कि \(91 \div 7 = 13\) ठीक-ठीक आता है, इसलिए 91 भाज्य है जिसका सबसे छोटा भाजक 7 है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या 1 एक अभाज्य संख्या है? नहीं। परिभाषा के अनुसार अभाज्य संख्या को 1 से बड़ा होना चाहिए, इसलिए 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

क्या 2 एक अभाज्य संख्या है? हाँ। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; बाकी हर सम संख्या 2 से विभाज्य होती है।

केवल वर्गमूल तक ही क्यों परखते हैं? भाजक हमेशा जोड़ों में आते हैं जिनका गुणनफल \(n\) होता है। अगर दोनों भाजक \(\sqrt{n}\) से बड़े होते, तो उनका गुणनफल \(n\) से अधिक हो जाता, जो संभव नहीं है — इसलिए किसी भी जोड़े का कम-से-कम एक भाजक \(\sqrt{n}\) या उससे छोटा ज़रूर होता है।