ما هو العدد الأولي؟
العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 وله قاسمان موجبان مختلفان فقط: العدد 1 ونفسه. ومن أمثلته 2 و3 و5 و7 و11 و13. أما الأعداد الأكبر من 1 التي ليست أولية فتُسمّى أعدادًا مركّبة، إذ يمكن كتابتها على شكل حاصل ضرب أعداد صحيحة أصغر. تخبرك هذه الحاسبة على الفور بما إذا كان أي عدد تُدخله أوليًا، وإن لم يكن كذلك فإنها تعرض لك أصغر عامل يقبل القسمة عليه.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب أي عدد صحيح (0 أو أكبر) في خانة الإدخال ثم أرسِل القيمة. يعرض مربع النتيجة الرئيسي كلمة نعم إذا كان العدد أوليًا، أو لا إذا كان مركّبًا. وعندما يكون العدد مركّبًا، يكشف الجدول عن أصغر قاسم أكبر من 1، وهو ما يساعدك على البدء في تحليله إلى عوامله الأولية كاملة.
شرح الصيغة الرياضية
لاختبار الأولية بكفاءة، يكفي أن تفحص القواسم حتى الجذر التربيعي للعدد \(n\). فإذا كان للعدد \(n\) عاملٌ أكبر من جذره التربيعي، فلا بد أن يكون له عامل مقابل أصغر من الجذر التربيعي، ولذلك يكفي الفحص حتى هذا الحد. وبصورة دقيقة، يكون \(n\) عددًا أوليًا عندما يكون \(n > 1\) ويكون باقي قسمة \(n\) على \(i\) لا يساوي صفرًا لكل عدد صحيح \(i\) من 2 حتى \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor\):
$$n \text{ is prime} \iff n > 1 \text{ and } n \bmod i \neq 0 \;\; \forall\, i \in [2, \sqrt{n}]$$وهذا يقلّل حجم الحساب تقليلًا كبيرًا مقارنةً بفحص كل عدد أصغر من \(n\).
مثال محلول
لنأخذ \(n = 97\). جذره التربيعي يساوي نحو \(9.85\)، لذا نختبر القواسم 2 و3 و5 و7 و9. ولا يقبل أيٌّ منها قسمة 97 قسمة تامة (فالعدد 97 فردي وغير قابل للقسمة على 3 أو 5 أو 7)، وبالتالي فإن 97 عدد أولي. والآن لنأخذ \(n = 91\). عند اختبار 2 و3 و5 ثم 7، نجد أن \(91 \div 7 = 13\) تمامًا، إذًا فإن 91 عدد مركّب وأصغر قاسم له هو 7.
الأسئلة الشائعة
هل العدد 1 عدد أولي؟ لا. فالعدد الأولي بحسب التعريف يجب أن يكون أكبر من 1، ولذلك فإن 1 ليس أوليًا ولا مركّبًا.
هل العدد 2 عدد أولي؟ نعم. فالعدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؛ أما كل عدد زوجي آخر فيقبل القسمة على 2.
لماذا نفحص حتى الجذر التربيعي فقط؟ لأن القواسم تأتي في أزواج حاصل ضربها يساوي \(n\). فلو كان كلا العاملين أكبر من \(\sqrt{n}\)، لتجاوز حاصل ضربهما العدد \(n\)، وهذا مستحيل — لذا فإن أحد قاسمي كل زوج على الأقل يكون أصغر من أو يساوي \(\sqrt{n}\).
