ماذا تفعل هذه الحاسبة
تكشف لك هذه الأداة ما إذا كان العدد الصحيح أوليًا أم مركبًا. العدد الأولي الأكبر من 1 له قاسمان فقط لا غير: الواحد ونفسه. أما العدد المركب فله قاسم إضافي واحد على الأقل. والعددان 0 و1 ليسا أوليين ولا مركبين، لذا تتوقع الحاسبة إدخال عدد يساوي 2 أو أكبر.
طريقة الاستخدام
اكتب أي عدد صحيح في الخانة ثم اضغط زر الإرسال. تعرض الحاسبة تصنيف العدد، وإذا كان مركبًا فإنها تُظهر أيضًا أصغر عامل أولي له ومثالًا على تحليله إلى عوامل (أصغر عامل \(\times\) العامل المكمّل له).
شرح القانون
تعتمد عملية الفحص على القسمة التجريبية. لتحديد ما إذا كان n مركبًا، يكفي أن تختبر القواسم d ابتداءً من 2 وحتى الجذر التربيعي للعدد n. فإذا قَسَم أي قاسم منها العددَ n دون باقٍ، كان n مركبًا. وإن لم يقسمه أيٌّ منها، فهو عدد أولي. ويكفي الاختبار حتى \(\sqrt{n}\) لأنه إذا كان \(n = a \times b\)، فلا بد أن يكون أحد العاملين على الأقل أصغر من أو يساوي \(\sqrt{n}\).
$$\text{Prime if } \text{n} > 1 \text{ and } \nexists\, d \in [2, \lfloor\sqrt{\text{n}}\rfloor] : \text{n} \bmod d = 0$$
$$\begin{gathered} \text{Classify}(\text{n}) = \begin{cases} \text{Prime} & \nexists\, d \in [2,\lfloor\sqrt{\text{n}}\rfloor],\; \text{n} \bmod d = 0 \\[0.4em] \text{Composite} & \exists\, d \in [2,\lfloor\sqrt{\text{n}}\rfloor],\; \text{n} \bmod d = 0 \\[0.4em] \text{Neither} & \text{n} < 2 \end{cases} \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ \(n = 91\). الجذر التربيعي للعدد 91 يساوي نحو 9.54، لذا نختبر القواسم 2 و3 و5 و7 و9. نجد أن \(91 \div 7 = 13\) تمامًا، إذن 91 عدد مركب أصغر عامل له هو 7 وتحليله \(7 \times 13\). وعلى النقيض، فإن العدد 97 لا يقبل القسمة على أي قاسم حتى 9، لذا فهو عدد أولي.
الأسئلة الشائعة
هل العدد 1 أولي؟ لا. فالعدد الأولي بحسب تعريفه يجب أن يكون له قاسمان موجبان مختلفان بالضبط، والعدد 1 له قاسم واحد فقط.
هل العدد 2 أولي؟ نعم. وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
لماذا نتوقف عند الجذر التربيعي؟ لأن أي عامل أكبر من \(\sqrt{n}\) يقترن بعامل أصغر يقع تحت \(\sqrt{n}\)، وهو ما يشمله البحث أصلًا، لذا فإن الفحص بعد \(\sqrt{n}\) مجرد تكرار لا فائدة منه.
