अभाज्य या भाज्य संख्या कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

Enter a whole number (n > 1)

परिणाम

The number 97 is

Prime

divisible only by 1 and itself

संख्या	97

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आपको बताता है कि कोई पूर्ण संख्या अभाज्य (prime) है या भाज्य (composite)। 1 से बड़ी अभाज्य संख्या के ठीक दो ही भाजक होते हैं — 1 और स्वयं वह संख्या। वहीं भाज्य संख्या का कम से कम एक अतिरिक्त भाजक होता है। 0 और 1 न अभाज्य हैं और न ही भाज्य, इसलिए कैलकुलेटर में 2 या उससे बड़ी संख्या दर्ज करें।

इसका उपयोग कैसे करें

बॉक्स में कोई भी पूर्ण संख्या लिखें और सबमिट करें। कैलकुलेटर बता देगा कि वह संख्या किस श्रेणी में आती है। अगर संख्या भाज्य हुई, तो यह उसका सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड और एक उदाहरण गुणनखंडन भी दिखाएगा (सबसे छोटा गुणनखंड \(\times\) उससे मेल खाता सह-गुणनखंड)।

सूत्र को समझें

यह जाँच भाग-परीक्षण (trial division) पर आधारित है। यह पता करने के लिए कि n भाज्य है या नहीं, आपको केवल 2 से लेकर n के वर्गमूल तक के भाजक d ही जाँचने होते हैं। अगर ऐसा कोई d n को बिना शेष के विभाजित कर दे, तो n भाज्य है। अगर कोई भी न करे, तो n अभाज्य है। केवल \(\sqrt{n}\) तक जाँचना इसलिए काम करता है क्योंकि अगर \(n = a \times b\) हो, तो दोनों गुणनखंडों में से कम से कम एक \(\le \sqrt{n}\) ज़रूर होगा।

$$\text{Prime if } n > 1 \text{ and } \nexists\, d \in [2, \lfloor\sqrt{n}\rfloor] : n \bmod d = 0$$

$$\begin{gathered} \text{Classify}(n) = \begin{cases} \text{Prime} & \nexists\, d \in [2,\lfloor\sqrt{n}\rfloor],\; n \bmod d = 0 \\[0.4em] \text{Composite} & \exists\, d \in [2,\lfloor\sqrt{n}\rfloor],\; n \bmod d = 0 \\[0.4em] \text{Neither} & n < 2 \end{cases} \end{gathered}$$

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कोई संख्या भाज्य होती है यदि उसका कोई भाजक 1 और उसके वर्गमूल के बीच हो; अन्यथा वह अभाज्य होती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(n = 91\)। 91 का वर्गमूल लगभग 9.54 है, इसलिए हम 2, 3, 5, 7, 9 की जाँच करते हैं। हमें मिलता है कि \(91 \div 7 = 13\) पूरा-पूरा बँट जाता है, यानी 91 भाज्य है जिसका सबसे छोटा गुणनखंड 7 है और गुणनखंडन \(7 \times 13\) है। इसके विपरीत, 97 का 9 तक कोई भाजक नहीं मिलता, इसलिए वह अभाज्य है।

अभाज्य संख्या केवल एक पंक्ति बनाती है; भाज्य संख्या को गुणनखंडों के पूर्ण आयत में सजाया जा सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या 1 अभाज्य है? नहीं। परिभाषा के अनुसार अभाज्य संख्या के ठीक दो अलग-अलग धनात्मक भाजक होने चाहिए, जबकि 1 का केवल एक ही भाजक है।

क्या 2 अभाज्य है? हाँ। यह एकमात्र सम (even) अभाज्य संख्या है।

वर्गमूल पर ही जाँच क्यों रोक देते हैं? \(\sqrt{n}\) से बड़ा कोई भी गुणनखंड \(\sqrt{n}\) से छोटे किसी गुणनखंड के साथ जोड़ा हुआ होता है, जिसे खोज पहले ही जाँच चुकी होती है। इसलिए \(\sqrt{n}\) से आगे जाँचना बेकार है।