अभाज्य संख्या क्या होती है?
अभाज्य संख्या (प्राइम नंबर) 1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या है जिसके ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं। जिस संख्या के दो से अधिक भाजक होते हैं, उसे भाज्य संख्या (कंपोज़िट नंबर) कहते हैं। संख्या 1 खास है — इसका सिर्फ़ एक ही भाजक होता है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। यह कैलकुलेटर बताता है कि आपने जो संख्या डाली है वह अभाज्य है या भाज्य, उसके सभी गुणनखंड दिखाता है, और उससे पहले व बाद आने वाली अभाज्य संख्या भी बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दिए गए बॉक्स में 1 से बड़ी कोई पूर्ण संख्या लिखें और सबमिट करें। यह टूल बताएगा कि वह अभाज्य है या भाज्य, संख्या को दोबारा दिखाएगा, उसके सभी गुणनखंड (भाज्य संख्याओं के लिए) सूचीबद्ध करेगा, और उससे ठीक छोटी सबसे बड़ी अभाज्य संख्या तथा उससे ठीक बड़ी सबसे छोटी अभाज्य संख्या बताएगा।
सूत्र को समझें
हम 6k±1 ऑप्टिमाइज़ेशन के साथ निश्चयात्मक (डिटरमिनिस्टिक) ट्रायल डिवीज़न का उपयोग करते हैं।
$$n = \text{Number} \text{ is prime} \iff n > 1 \;\wedge\; \nexists\, d \in [\,2,\ \lfloor\sqrt{n}\rfloor\,] : n \bmod d = 0$$
सबसे पहले हम 2 और 3 को ज्ञात अभाज्य संख्याओं के रूप में अलग कर लेते हैं, और सम संख्याओं तथा 3 के गुणजों को बाहर कर देते हैं। इसके बाद हम सिर्फ़ \(6k-1\) और \(6k+1\) रूप के संभावित भाजकों (5, 7, 11, 13, ...) को \(n\) के वर्गमूल तक जाँचते हैं। यदि इनमें से कोई भी \(n\) को पूरी तरह भाग नहीं देता, तो \(n\) अभाज्य है। हमें केवल वर्गमूल तक ही जाँचने की ज़रूरत होती है, क्योंकि वर्गमूल से बड़ा कोई भी गुणनखंड हमेशा उससे छोटे किसी गुणनखंड के साथ जोड़ी में आता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 97\)। इसका वर्गमूल लगभग \(9.85\) है। यह विषम संख्या है और 3 का गुणज भी नहीं है। हम 5 की जाँच करते हैं (\(97 \bmod 5 = 2\)) और 7 की (\(97 \bmod 7 = 6\))। अगला संभावित भाजक 11 है, लेकिन \(11 \times 11 = 121 > 97\), इसलिए हम यहीं रुक जाते हैं। कोई भाजक नहीं मिला, इसलिए 97 अभाज्य है। इससे पिछली अभाज्य संख्या 89 है और अगली अभाज्य संख्या 101 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या 1 एक अभाज्य संख्या है? नहीं। 1 का सिर्फ़ एक ही भाजक होता है, इसलिए यह न अभाज्य है और न भाज्य।
क्या 2 अभाज्य है? हाँ। 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और एकमात्र सम अभाज्य संख्या भी। इससे पहले कोई अभाज्य संख्या नहीं होती।
गुणनखंड सिर्फ़ भाज्य संख्याओं के लिए ही क्यों दिखाए जाते हैं? परिभाषा के अनुसार अभाज्य संख्या के सिर्फ़ दो ही गुणनखंड होते हैं — 1 और वह संख्या स्वयं, इसलिए टूल बस यही बता देता है। वहीं भाज्य संख्याओं के कई गुणनखंड हो सकते हैं, जिन्हें बढ़ते क्रम में दिखाया जाता है।
