Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Un nombre composé, lui, en compte davantage. Le nombre 1 est un cas à part : il n'a qu'un seul diviseur, il n'est donc ni premier ni composé. Ce calculateur détermine si le nombre que vous saisissez est premier ou composé, en dresse la liste des diviseurs et affiche le nombre premier précédent ainsi que le suivant.
Comment l'utiliser
Saisissez un entier supérieur à 1 dans le champ, puis validez. L'outil le classe comme premier ou composé, rappelle le nombre étudié, énumère tous ses diviseurs (pour les nombres composés) et indique le plus grand nombre premier situé en dessous ainsi que le plus petit situé au-dessus.
La formule expliquée
Nous utilisons une division d'essai déterministe avec l'optimisation 6k±1. On commence par traiter 2 et 3 comme des premiers connus, puis on écarte les nombres pairs et les multiples de 3. Ensuite, on ne teste que les diviseurs candidats de la forme 6k-1 et 6k+1 (5, 7, 11, 13, etc.) jusqu'à la racine carrée de n. Si aucun ne divise n de manière exacte, alors n est premier. Il suffit de s'arrêter à la racine carrée, car tout diviseur supérieur à celle-ci est forcément associé à un diviseur plus petit.
$$n = \text{Number} \text{ is prime} \iff n > 1 \;\wedge\; \nexists\, d \in [\,2,\ \lfloor\sqrt{n}\rfloor\,] : n \bmod d = 0$$
Exemple concret
Prenons \(n = 97\). Sa racine carrée vaut environ \(9{,}85\). Le nombre est impair et n'est pas multiple de 3. On teste 5 (\(97 \bmod 5 = 2\)) puis 7 (\(97 \bmod 7 = 6\)). Le candidat suivant est 11, mais \(11 \times 11 = 121 > 97\) : on s'arrête donc là. Aucun diviseur n'a été trouvé, 97 est donc premier. Le nombre premier précédent est 89 et le suivant est 101.
FAQ
1 est-il un nombre premier ? Non. Comme 1 ne possède qu'un seul diviseur, il n'est ni premier ni composé.
2 est-il premier ? Oui. C'est le plus petit nombre premier et le seul à être pair. Il n'a pas de nombre premier précédent.
Pourquoi ne lister les diviseurs que pour les nombres composés ? Par définition, un nombre premier n'a que 1 et lui-même comme diviseurs ; l'outil se contente donc de le signaler. Les nombres composés, en revanche, peuvent en avoir beaucoup, qui sont présentés par ordre croissant.
