Ce que fait ce calculateur
Voici un outil trois-en-un dédié aux nombres premiers. Il permet de (1) trouver le nième nombre premier, \(\text{Premier}[n] = p_n\) ; (2) vérifier si un entier donné est premier et indiquer sa position dans la suite des premiers ; et (3) lister les N premiers nombres premiers à la demande. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.
Comment l'utiliser
Choisissez un mode. En mode nième premier, saisissez une position n indexée à partir de 1 (par exemple 100) et le calculateur renvoie \(\text{Premier}[100] = 541\). En mode test de primalité, entrez un entier quelconque (par exemple 97) : l'outil vous indique si le nombre est premier et, le cas échéant, son rang n dans la suite des premiers. En mode liste des N premiers premiers, indiquez combien de premiers vous souhaitez : vous obtenez la liste complète séparée par des virgules, ainsi que le plus grand d'entre eux, \(\text{Premier}[N]\).
La formule expliquée
Le test de primalité repose sur la division d'essai : un nombre \(p\) est premier lorsqu'aucun diviseur entier n'existe entre 2 et la racine carrée de \(p\).
$$P_{\text{n}} = \text{the } \text{n}\text{-th prime}, \quad p \text{ prime} \iff p \ge 2 \;\wedge\; \nexists\, d \in [2,\sqrt{p}\,]: d \mid p$$Après avoir traité le cas de 2, il suffit de tester les diviseurs impairs \(d\) tant que \(d\cdot d \le p\), ce qui est rapide et évite les erreurs d'arrondi liées aux virgules flottantes. Le nième premier s'obtient en parcourant les candidats 2, 3, 4, … et en comptant chaque premier jusqu'à atteindre n. Le rang d'un premier \(m\) est égal à \(\pi(m)\), le nombre de premiers inférieurs ou égaux à \(m\).
Exemple détaillé
Testons 97. Il est impair, on essaie donc \(d = 3, 5, 7, 9\) (car \(9^2 = 81 \le 97\) alors que \(11^2 = 121 > 97\)). Aucun ne divise 97 sans reste : 97 est donc premier. En comptant les premiers jusqu'à 97 — 2, 3, 5, …, 97 — on en dénombre 25 ; 97 est donc le 25e nombre premier : \(\text{rang} = 25\).
FAQ
1 est-il un nombre premier ? Non. Par définition, un premier doit être supérieur à 1 : 1 n'est donc ni premier ni composé.
Quel est le seul nombre premier pair ? 2 est le seul premier pair ; tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
Quel est le 100e nombre premier ? \(\text{Premier}[100] = 541\). Autres repères : \(\text{Premier}[10] = 29\), \(\text{Premier}[25] = 97\), \(\text{Premier}[50] = 229\), \(\text{Premier}[223] = 1409\).
