حاسبة الأعداد الأولية (إيجاد العدد الأولي رقم n والتحقق من الأولية)

أدخل الحساب

الوضع العدد الأولي رقم n (إيجاد ‎Prime[n]) التحقق من الأولية (هل هذا العدد أولي؟) عرض أول N من الأعداد الأولية

ترتيب العدد الأولي n (يبدأ العد من 1)

العدد المراد اختباره

عدد الأعداد الأولية المطلوب عرضها (N)

نتائج

Prime[١٠٠] — the ١٠٠th prime number

٥٤١

ترتيب العدد الأولي n	١٠٠
العدد الأولي رقم n، ‎Prime[n]	٥٤١

ماذا تفعل هذه الحاسبة

هذه أداة ثلاثية الوظائف للأعداد الأولية. فهي تستطيع: (1) إيجاد العدد الأولي رقم n، أي \(\text{Prime}[n] = p_n\)؛ (2) التحقق مما إذا كان عدد صحيح معيّن أوليًا مع بيان ترتيبه ضمن سلسلة الأعداد الأولية؛ (3) عرض أول N من الأعداد الأولية حسب طلبك. وأول الأعداد الأولية هي 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... والعدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه فقط.

الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19) مُعلَّمة على خط الأعداد؛ والأعداد المركّبة دون تمييز.

طريقة الاستخدام

اختر الوضع المناسب. في وضع العدد الأولي رقم n، أدخل الترتيب n (يبدأ العد من 1)، مثل 100، فتُعيد الحاسبة \(\text{Prime}[100] = 541\). وفي وضع التحقق من الأولية، أدخل أي عدد صحيح (مثل 97) فتخبرك إن كان أوليًا، وإن كان كذلك فإنها تُبيّن ترتيبه n ضمن سلسلة الأعداد الأولية. وفي وضع عرض أول N من الأعداد الأولية، أدخل العدد الذي تريده فتُعيد القائمة كاملة مفصولة بفواصل مع أكبر عدد أولي فيها، أي \(\text{Prime}[N]\).

شرح الصيغة

يعمل اختبار الأولية بطريقة القسمة التجريبية: يكون العدد p أوليًا إذا لم يوجد أي قاسم صحيح بين 2 والجذر التربيعي لـ p:

$$p \text{ prime} \iff p \ge 2 \;\wedge\; \nexists\, d \in [2,\sqrt{p}\,]: d \mid p$$

ويكفي اختبار القواسم الفردية d فقط (بعد معالجة الرقم 2) ما دام \(d \cdot d \le p\)، وهي طريقة سريعة وتتجنّب أخطاء الفاصلة العائمة. أما العدد الأولي رقم n فيُوجَد بفحص المرشّحين 2، 3، 4، ... وعدّ كل عدد أولي حتى يبلغ العدّ القيمة n. ويساوي ترتيب العدد الأولي m الدالةَ \(\pi(m)\)، أي عدد الأعداد الأولية الأصغر من m أو المساوية له.

اعلان

كل دليل n يقابل عدده الأولي \(p_n\): 1→2، 2→3، 3→5، 4→7.

مثال محلول

لنختبر العدد 97. هو عدد فردي، لذا نجرّب القواسم \(d = 3, 5, 7, 9\) (لأن \(9^2 = 81 \le 97\)، بينما \(11^2 = 121 > 97\)). لا يقسم أيٌّ منها العدد 97 قسمة تامة، إذن 97 عدد أولي. وبعدّ الأعداد الأولية حتى 97، أي 2، 3، 5، ...، 97، نحصل على 25 عددًا أوليًا، إذن 97 هو العدد الأولي الخامس والعشرون: \(\text{primeIndex} = 25\).

الأسئلة الشائعة

هل العدد 1 عدد أولي؟ لا. فالعدد الأولي بحكم تعريفه يجب أن يكون أكبر من 1، لذا فإن 1 ليس أوليًا ولا مركّبًا.

ما هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؟ العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؛ فكل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على 2.

ما هو العدد الأولي رقم 100؟ \(\text{Prime}[100] = 541\). ومن النقاط المرجعية الأخرى: \(\text{Prime}[10] = 29\)، و\(\text{Prime}[25] = 97\)، و\(\text{Prime}[50] = 229\)، و\(\text{Prime}[223] = 1409\).