Qué hace esta calculadora
Se trata de una herramienta de números primos tres en uno. Puede (1) encontrar el número primo enésimo, \(\text{Primo}[n] = p_n\); (2) comprobar si un entero dado es primo e indicar su posición dentro de la secuencia de primos; y (3) generar la lista de los primeros N números primos cuando lo necesites. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son el 1 y él mismo.
Cómo utilizarla
Elige un modo. En el modo Primo enésimo, introduce una posición n (empezando por 1; por ejemplo, 100) y la calculadora devuelve \(\text{Primo}[100] = 541\). En el modo Comprobación de primalidad, introduce cualquier entero (por ejemplo, 97) y te dirá si el número es primo y, en caso afirmativo, su índice n en la secuencia de primos. En el modo Listar los primeros N primos, indica cuántos primos quieres y obtendrás la lista completa separada por comas junto con el mayor primo, \(\text{Primo}[N]\).
La fórmula explicada
El test de primalidad se basa en la división por tentativa: un número p es primo cuando no existe ningún divisor entero entre 2 y la raíz cuadrada de p. Tras tratar el caso del 2, solo necesitamos probar divisores impares d mientras \(d \cdot d \le p\), lo que resulta rápido y evita los errores propios del coma flotante. El primo enésimo se obtiene recorriendo los candidatos 2, 3, 4, ... y contando cada primo hasta que el recuento alcanza n. El índice de un primo m es igual a \(\pi(m)\), es decir, la cantidad de primos menores o iguales que m.
$$P_{\text{n}} = \text{the } \text{n}\text{-th prime}, \quad p \text{ prime} \iff p \ge 2 \;\wedge\; \nexists\, d \in [2,\sqrt{p}\,]: d \mid p$$
Ejemplo resuelto
Probemos con el 97. Es impar, así que vamos comprobando \(d = 3, 5, 7, 9\) (ya que \(9^2 = 81 \le 97\), pero \(11^2 = 121 > 97\)). Ninguno divide al 97 de forma exacta, por lo que 97 es primo. Al contar los primos hasta el 97 obtenemos \(2, 3, 5, \dots, 97 = 25\) primos, de modo que 97 es el primo número 25: \(\text{índiceDePrimo} = 25\).
Preguntas frecuentes
¿Es el 1 un número primo? No. Por definición, un primo debe ser mayor que 1, así que el 1 no es ni primo ni compuesto.
¿Cuál es el único primo par? El 2 es el único primo par; cualquier otro número par es divisible por 2.
¿Cuál es el primo número 100? \(\text{Primo}[100] = 541\). Otros puntos de referencia: \(\text{Primo}[10] = 29\), \(\text{Primo}[25] = 97\), \(\text{Primo}[50] = 229\), \(\text{Primo}[223] = 1409\).
