Asal Sayı Hesaplama (N'inci Asalı Bulma ve Asallık Kontrolü)

Hesaplamaya Girin

Mod N'inci asal (Prime[n] bul) Asallık kontrolü (bu sayı asal mı?) İlk N asalı listele

Asal indeksi n (1'den başlar)

Test edilecek sayı

Kaç asal listelensin (N)

Sonuç

Prime[100] — the 100th prime number

541

Asal indeksi n	100
N'inci asal, Prime[n]	541

Bu hesaplama aracı ne işe yarar?

Bu, üçü bir arada bir asal sayı aracıdır. (1) N'inci asal sayıyı bulabilir, yani \(\text{Prime}[n] = p_n\); (2) verilen bir tam sayının asal olup olmadığını test edip asal dizisindeki konumunu söyleyebilir; ve (3) talep üzerine ilk N asal sayıyı listeleyebilir. İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... şeklindedir. Asal sayı, 1'den büyük olan ve yalnızca 1 ile kendisine tam bölünebilen bir tam sayıdır.

Sayı doğrusunda asal sayılar (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) işaretli; bileşik sayılar sade bırakıldı.

Nasıl kullanılır?

Önce bir mod seçin. N'inci asal modunda, 1'den başlayan bir n konumu girin (örneğin 100); hesaplayıcı size \(\text{Prime}[100] = 541\) sonucunu verir. Asallık kontrolü modunda herhangi bir tam sayı girin (örneğin 97); aracı size bu sayının asal olup olmadığını ve asalsa asal dizisindeki n sırasını gösterir. İlk N asalı listele modunda kaç asal sayı istediğinizi yazın; araç virgülle ayrılmış tam listeyi ve en büyük asalı, yani \(\text{Prime}[N]\) değerini döndürür.

Formülün açıklaması

Asallık testi deneme bölmesiyle çalışır: bir p sayısı, 2 ile p'nin karekökü arasında hiçbir tam bölen bulunmadığında asaldır.

$$P_{\text{n}} = \text{the } \text{n}\text{-th prime number}, \quad p \text{ prime} \iff p \ge 2 \;\wedge\; \nexists\, d \in [2,\sqrt{p}\,]: d \mid p$$

2 sayısını ayrı ele aldıktan sonra yalnızca tek bölenleri d test etmemiz yeterlidir; \(d \cdot d \le p\) olduğu sürece bu işlem hem hızlıdır hem de kayan nokta hatalarından kaçınır. N'inci asal ise 2, 3, 4, ... adaylarını tarayarak ve her asalı sayarak bulunur; sayaç n değerine ulaştığında durulur. Bir m asalının asal indeksi \(\pi(m)\) değerine eşittir; bu da m'ye eşit veya ondan küçük asalların sayısıdır.

Reklam

Her n indisi kendi asalı p_n'e eşlenir: 1→2, 2→3, 3→5, 4→7.

Çözümlü örnek

97 sayısını test edelim. Sayı tek olduğundan \(d = 3, 5, 7, 9\) değerlerini deneriz (çünkü \(9^2 = 81 \le 97\) ama \(11^2 = 121 > 97\)). Bunların hiçbiri 97'yi tam bölmediğinden 97 asaldır. 97'ye kadar olan asalları saydığımızda \(2, 3, 5, \dots, 97 = 25\) asal elde ederiz; yani 97, 25'inci asaldır: \(\text{primeIndex} = 25\).

Sıkça Sorulan Sorular

1 asal sayı mıdır? Hayır. Tanım gereği bir asal sayı 1'den büyük olmalıdır; bu nedenle 1 ne asal ne de bileşik sayıdır.

Tek çift asal sayı hangisidir? 2, tek çift asal sayıdır; diğer tüm çift sayılar 2'ye bölünebilir.

100'üncü asal sayı kaçtır? \(\text{Prime}[100] = 541\). Diğer kontrol noktaları: \(\text{Prime}[10] = 29\), \(\text{Prime}[25] = 97\), \(\text{Prime}[50] = 229\), \(\text{Prime}[223] = 1409\).