अभाज्य संख्या कैलकुलेटर (nवीं अभाज्य संख्या खोजें और अभाज्यता जाँचें)

गणना दर्ज करें

मोड nवीं अभाज्य (Prime[n] खोजें) अभाज्यता जाँच (क्या यह संख्या अभाज्य है?) पहली N अभाज्य संख्याएँ सूचीबद्ध करें

अभाज्य सूचकांक n (1 से गिनती)

जाँचने वाली संख्या

कितनी अभाज्य संख्याएँ सूचीबद्ध करें (N)

परिणाम

Prime[100] — the 100th prime number

541

अभाज्य सूचकांक n	100
nवीं अभाज्य, Prime[n]	541

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह एक "तीन-में-एक" अभाज्य संख्या टूल है। यह (1) nवीं अभाज्य संख्या खोज सकता है, \(\text{Prime}[n] = p_n\); (2) जाँच सकता है कि कोई दी गई पूर्णांक संख्या अभाज्य है या नहीं और अभाज्य क्रम में उसका स्थान बता सकता है; और (3) माँगने पर पहली N अभाज्य संख्याओं की सूची दे सकता है। शुरुआती अभाज्य संख्याएँ हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... अभाज्य संख्या वह पूर्णांक है जो 1 से बड़ा हो और जिसके केवल दो ही धनात्मक भाजक हों — 1 और वह संख्या स्वयं।

संख्या रेखा पर अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) चिह्नित; भाज्य संख्याएँ सादी छोड़ी गईं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले एक मोड चुनें। nवीं अभाज्य मोड में, 1 से गिनती शुरू करते हुए स्थान n दर्ज करें (उदाहरण के लिए 100) और कैलकुलेटर बताएगा \(\text{Prime}[100] = 541\)। अभाज्यता जाँच मोड में, कोई भी पूर्णांक दर्ज करें (उदाहरण के लिए 97) और यह बताएगा कि वह संख्या अभाज्य है या नहीं, और यदि है तो अभाज्य क्रम में उसका स्थान n क्या है। पहली N अभाज्य संख्याएँ सूचीबद्ध करें मोड में बताएँ कि आपको कितनी अभाज्य संख्याएँ चाहिए, और यह पूरी सूची (अल्पविराम से अलग) के साथ सबसे बड़ी अभाज्य संख्या \(\text{Prime}[N]\) भी दिखाएगा।

सूत्र की व्याख्या

अभाज्यता की जाँच भाग-परीक्षण (trial division) से होती है: कोई संख्या p तब अभाज्य होती है जब 2 और p के वर्गमूल के बीच कोई पूर्णांक भाजक न हो।

$$\text{N} \text{ is prime} \iff \text{N} \ge 2 \;\wedge\; \nexists\, d \in \left[2,\;\sqrt{\text{N}}\,\right]: d \mid \text{N}$$

2 को अलग से संभालने के बाद हमें केवल विषम भाजक d को तब तक जाँचना होता है जब तक \(d \cdot d \le p\) रहे — यह तरीका तेज़ है और दशमलव (floating-point) की त्रुटि से भी बचाता है। nवीं अभाज्य संख्या पाने के लिए हम 2, 3, 4, ... को एक-एक करके जाँचते हैं और हर अभाज्य संख्या गिनते जाते हैं, जब तक गिनती n तक न पहुँच जाए। किसी अभाज्य संख्या m का अभाज्य सूचकांक \(\pi(m)\) के बराबर होता है, यानी m तक (m सहित) कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं।

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प्रत्येक सूचकांक n अपने अभाज्य \(p_n\) से मिलता है: 1→2, 2→3, 3→5, 4→7।

हल किया हुआ उदाहरण

आइए 97 को जाँचें। यह विषम है, इसलिए हम d = 3, 5, 7, 9 आज़माते हैं (क्योंकि \(9^2 = 81 \le 97\) है, पर \(11^2 = 121 > 97\) है)। इनमें से कोई भी 97 को पूरी तरह विभाजित नहीं करता, इसलिए 97 अभाज्य है। 97 तक की अभाज्य संख्याएँ गिनें — \(2, 3, 5, \ldots, 97 = 25\) कुल अभाज्य संख्याएँ, इसलिए 97, 25वीं अभाज्य संख्या है: \(\text{primeIndex} = 25\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या 1 एक अभाज्य संख्या है? नहीं। परिभाषा के अनुसार अभाज्य संख्या 1 से बड़ी होनी चाहिए, इसलिए 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य (composite)।

एकमात्र सम अभाज्य संख्या कौन-सी है? 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; बाकी हर सम संख्या 2 से विभाज्य होती है।

100वीं अभाज्य संख्या क्या है? \(\text{Prime}[100] = 541\)। कुछ और संदर्भ बिंदु: \(\text{Prime}[10] = 29\), \(\text{Prime}[25] = 97\), \(\text{Prime}[50] = 229\), \(\text{Prime}[223] = 1409\)।