Qu'est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers (aussi appelée factorisation en nombres premiers) consiste à exprimer un entier positif comme le produit des nombres premiers qui le composent. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier supérieur à 1 admet une seule décomposition de ce type, à l'ordre des facteurs près. Ce calculateur détermine ces facteurs premiers pour tout nombre entier compris entre 2 et un peu moins de 10 000 milliards (13 chiffres), et les présente de quatre façons : sous forme de produit, en notation exponentielle, en liste CSV et, en option, sous forme d'arbre des facteurs.
Comment l'utiliser
Saisissez un entier positif supérieur à 1 dans le champ prévu, puis validez. Cochez « créer un arbre de factorisation » pour obtenir une représentation visuelle de la décomposition. Le résultat affiche les facteurs premiers développés (par exemple \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)), la forme exponentielle compacte (\(2^2 \times 5^2\)), une liste séparée par des virgules, le nombre de facteurs premiers distincts, le nombre total de facteurs premiers comptés avec leur multiplicité, ainsi que l'indice Prime[n] de chaque facteur figurant parmi les 5000 premiers nombres premiers.
La formule et l'algorithme
L'outil repose sur la division d'essai. La décomposition s'écrit sous la forme générale
$$\text{Number} = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}$$Il commence par retirer tous les facteurs 2, puis teste les diviseurs impairs 3, 5, 7, … tant que le carré du diviseur reste inférieur ou égal à la valeur restante. Chaque fois qu'un diviseur divise sans reste, il est enregistré puis éliminé. Si, à la fin, il subsiste une valeur supérieure à 1, celle-ci est elle-même un facteur premier. Tester uniquement jusqu'à la racine carrée suffit, car tout nombre composé possède forcément un facteur inférieur ou égal à sa racine carrée.
Exemple détaillé : n = 100
\(100 / 2 = 50\), puis \(50 / 2 = 25\), soit deux fois le facteur 2. Ensuite 25 n'est pas divisible par 3 mais l'est par 5 : \(25 / 5 = 5\), puis \(5 / 5 = 1\), soit deux fois le facteur 5. Les facteurs sont donc 2, 2, 5, 5. Sous forme de produit : \(2 \times 2 \times 5 \times 5\), et en notation exponentielle \(2^2 \times 5^2\). Il y a 2 facteurs premiers distincts et 4 facteurs premiers au total. Vérification :
$$2 \times 2 \times 5 \times 5 = 100$$Indices : 2 = Prime[1], 5 = Prime[3].
Questions fréquentes
Et le nombre 1 ? Le nombre 1 n'est ni premier ni composé et n'admet aucun facteur premier : le calculateur signale donc ce cas particulier.
Que se passe-t-il si mon nombre est premier ? Un nombre premier comme 13 n'a que lui-même pour facteur premier ; sa forme exponentielle se réduit alors à 13.
Jusqu'à quelle taille puis-je factoriser un nombre ? Jusqu'à près de 10 000 milliards. Les nombres proches de cette limite qui possèdent un grand facteur premier peuvent demander quelques instants, car la division d'essai vérifie les diviseurs jusqu'à la racine carrée.
