Qu'est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers consiste à exprimer un nombre entier comme le produit des nombres premiers qui, multipliés entre eux, le reconstituent. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…). Le théorème fondamental de l'arithmétique garantit que tout entier supérieur à 1 possède une décomposition en facteurs premiers unique, à l'ordre des facteurs près.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un entier supérieur ou égal à 2, puis lancez le calcul. L'outil affiche la décomposition sous deux formes : un produit développé (chaque facteur premier listé individuellement) et une écriture exponentielle plus compacte qui regroupe les facteurs répétés sous forme de puissances. Il indique également le nombre de facteurs premiers distincts, le nombre total de facteurs premiers comptés avec leur multiplicité, et précise si le nombre lui-même est premier.
La méthode expliquée
Le calculateur s'appuie sur la division successive (ou division d'essai). En partant du plus petit nombre premier, 2, il divise le nombre par chaque diviseur candidat d tant que la division tombe juste, en comptant le nombre de fois où chacun divise. Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à \(\sqrt{n}\) : si aucun facteur n'est trouvé en dessous de la racine carrée, le nombre restant est nécessairement premier. Le résultat s'écrit sous la forme
$$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$
Exemple concret
Prenons \(n = 360\). On divise par 2 à trois reprises : \(360 \to 180 \to 90 \to 45\) (\(2^3\)). On divise par 3 deux fois : \(45 \to 15 \to 5\) (\(3^2\)). On divise par 5 une fois : \(5 \to 1\) (\(5^1\)). On obtient donc
$$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$Sous forme développée, cela donne \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\) : soit trois facteurs premiers distincts et six facteurs au total.
Questions fréquentes
Pourquoi le nombre doit-il être au moins égal à 2 ? Les nombres 0 et 1 n'ont pas de décomposition en facteurs premiers — 1 n'est ni premier ni composé.
Que signifie « avec multiplicité » ? Cela revient à compter chaque facteur premier autant de fois qu'il apparaît. Pour 360, le total est de 6 (trois fois le 2, deux fois le 3, une fois le 5).
1 est-il un nombre premier ? Non. Par définition, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts, or 1 n'en a qu'un seul.
